Construa a tabela de multiplicação do grupo S3 e identifique o elemento inverso de cada elemento de S3.

Passo 1

O enunciado pede para construirmos a tabela de multiplicação (tabela de Cayley) do grupo S3, ou seja, todas as composições de permutações de três elementos, e em seguida identificar o inverso de cada elemento. O conteúdo é teoria de grupos finitos, especificamente permutações e operação de composição.

Passo 2

Os elementos de S3 podem ser escritos na notação de ciclos como
,e,;(12),;(13),;(23),;(123),;(132),
onde e é a permutação identidade. A operação circ é a composição de permutações (primeiro aplica-se a da direita e depois a da esquerda).

Passo 3

Para montar a tabela, calculamos para cada par sigma,tauin S3 a composição sigmacirctau. Por exemplo, (12)circ(13)=(132), pois aplicando primeiro (13) e depois (12) obtemos o ciclo (1to3to2to1). Repetindo esse procedimento para todos os pares, obtemos:

Passo 4

Para cada elemento sigma, seu inverso sigma^-1 é a permutação que, composta com sigma, dá a identidade e. No caso de S3 vemos que as transposições são auto-inversas e que (123) e (132) são inversas entre si.

Resposta

A tabela de multiplicação de S3 (linhas sigma, colunas tau, cada entrada é sigmacirctau) é
c|cccccc circ & e & (12) & (13) & (23) & (123) & (132)hline e & e & (12) & (13) & (23) & (123) & (132) (12) & (12) & e & (132) & (123) & (23) & (13) (13) & (13) & (123) & e & (132) & (12) & (23) (23) & (23) & (132) & (123) & e & (13) & (12) (123) & (123) & (13) & (23) & (12) & (132) & e (132) & (132) & (23) & (12) & (13) & e & (123)
Os inversos são:
e^-1=e, (12)^-1=(12), (13)^-1=(13), (23)^-1=(23), (123)^-1=(132), (132)^-1=(123)

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