Construa a tabela de multiplicação do grupo
e identifique o elemento inverso de cada elemento de
.
Passo 1
O enunciado pede para construirmos a tabela de multiplicação (tabela de Cayley) do grupo
, ou seja, todas as composições de permutações de três elementos, e em seguida identificar o inverso de cada elemento. O conteúdo é teoria de grupos finitos, especificamente permutações e operação de composição.
Passo 2
Os elementos de
podem ser escritos na notação de ciclos como
onde
é a permutação identidade. A operação
é a composição de permutações (primeiro aplica-se a da direita e depois a da esquerda).
Passo 3
Para montar a tabela, calculamos para cada par
a composição
. Por exemplo,
, pois aplicando primeiro
e depois
obtemos o ciclo
. Repetindo esse procedimento para todos os pares, obtemos:
Passo 4
Para cada elemento
, seu inverso
é a permutação que, composta com
, dá a identidade
. No caso de
vemos que as transposições são auto-inversas e que
e
são inversas entre si.
Resposta
A tabela de multiplicação de
(linhas
, colunas
, cada entrada é
) é
Os inversos são: