Construa a tabela de multiplicação do grupo
e identifique o elemento inverso de cada elemento de
.
Passo 1
O enunciado pede que a gente construa a tabela de multiplicação do grupo diédral
(as simetrias de um triângulo equilátero) e identifique o inverso de cada elemento. O conteúdo que vamos usar é teoria de grupos, em particular as relações que definem
:
Passo 2
Primeiro, listamos os seis elementos de
. Podemos tomar
onde
é a identidade,
é a rotação de
no sentido horário e
é uma reflexão. Das relações acima segue que qualquer produto pode ser simplificado movendo
para a direita usando
.
Passo 3
Agora montamos a tabela de multiplicação usando essas regras. Em cada entrada fazemos, se preciso, troca de ordem
(pois
) e aplicamos
ou
. O resultado é:
Passo 4
Para achar o inverso de cada elemento, basta olhar em cada linha/coluna qual entrada dá
quando multiplicada. Assim:
-
. -
e porque . -
pois . -
porque . -
.
Resposta
Tabela de multiplicação de
:
Inversos em
: