Construa a tabela de multiplicação do grupo D3 e identifique o elemento inverso de cada elemento de D3.

Passo 1

O enunciado pede que a gente construa a tabela de multiplicação do grupo diédral D3 (as simetrias de um triângulo equilátero) e identifique o inverso de cada elemento. O conteúdo que vamos usar é teoria de grupos, em particular as relações que definem D3:
r^3=e, s^2=e, s,r,s = r^-1

Passo 2

Primeiro, listamos os seis elementos de D3. Podemos tomar
,e,;r,;r^2,;s,;r,s,;r^2s,
onde e é a identidade, r é a rotação de 120^circ no sentido horário e s é uma reflexão. Das relações acima segue que qualquer produto pode ser simplificado movendo r para a direita usando s,r = r^-1s.

Passo 3

Agora montamos a tabela de multiplicação usando essas regras. Em cada entrada fazemos, se preciso, troca de ordem s,r = r^2s (pois r^-1=r^2) e aplicamos r^3=e ou s^2=e. O resultado é:
c|cccccc cdot & e & r & r^2 & s & r,s & r^2shline e & e & r & r^2 & s & r,s & r^2s r & r & r^2 & e & r,s & r^2s & s r^2 & r^2 & e & r & r^2s & s & r,s s & s & r^2s & r,s & e & r^2 & r r,s & r,s & s & r^2s & r & e & r^2 r^2s & r^2s & r,s & s & r^2 & r & e

Passo 4

Para achar o inverso de cada elemento, basta olhar em cada linha/coluna qual entrada dá e quando multiplicada. Assim:
  • e^-1=e.
  • r^-1=r^2 e (r^2)^-1=r porque r,r^2=r^3=e.
  • s^-1=s pois s^2=e.
  • (r,s)^-1=r^2s porque (r,s)(r^2s)=r,(s,r^2),s=r,r,s,s=r^2e=e.
  • (r^2s)^-1=r,s.

Resposta

Tabela de multiplicação de D3:
c|cccccc cdot & e & r & r^2 & s & r,s & r^2shline e & e & r & r^2 & s & r,s & r^2s r & r & r^2 & e & r,s & r^2s & s r^2 & r^2 & e & r & r^2s & s & r,s s & s & r^2s & r,s & e & r^2 & r r,s & r,s & s & r^2s & r & e & r^2 r^2s & r^2s & r,s & s & r^2 & r & e
Inversos em D3:
e^-1=e, r^-1=r^2, (r^2)^-1=r, s^-1=s, (r,s)^-1=r^2s, (r^2s)^-1=r,s

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