Seja T o grupo das matrizes triangulares superiores não singulares 2 times 2 com entradas em R; isto é, matrizes da forma
(ll a & b 0 & c ),
onde a, b, c in R e a c neq 0. Seja U consistindo de matrizes da forma
(ll 1 & x 0 & 1 ),
onde x in R.
(a) Mostre que U é um subgrupo de T.
(b) Prove que U é abeliano.
(c) Prove que U é normal em T.
(d) Mostre que T / U é abeliano.
(e) T é normal em GL2(R) ?

Passo 1

O enunciado trata do grupo
T = la & b0 & cmid a,b,cinR,;acneq0r
e do subconjunto
U = l1 & x0 & 1mid xinRr
O conteúdo é teoria de grupos: mostrar que U é subgrupo de T, é abeliano, é normal em T, que o quociente T/U é abeliano e, por fim, verificar se T é normal em GL2(R). Para isso, usaremos os testes de subgrupo e normalidade, cálculo de inversa e o teorema do homomorfismo.

Passo 2

(a) Para U ser subgrupo de T basta checar fechamento, identidade e inversos.
1. Fechamento: se
u(x)=1 & x0 & 1
e
u(y)=1 & y0 & 1,
então
u(x),u(y) =1 & x0 & 1 1 & y0 & 1 =1 & x+y0 & 1 = u(x+y)in U
2. Identidade: u(0)=1&00&1in U.
3. Inverso:
u(x)^-1 =1 & x0 & 1^-1 =1 & -x0 & 1 = u(-x)in U
Logo U<= T.

Passo 3

(b) Para mostrar que U é abeliano, basta ver que a soma em R é comutativa:
u(x),u(y) =1 & x+y0 & 1 =1 & y+x0 & 1 =u(y),u(x)

Passo 4

(c) Para U ser normal em T verificamos que, para qualquer
t=a & b0 & cin T
e qualquer
u(x)=1 & x0 & 1in U,
o conjugado t,u(x),t^-1 pertence a U.
Calculando:
t^-1 =a & b0 & c^-1 =a^-1 & -,bac[6pt]0 & c^-1,
t,u(x) =a & b0 & c 1 & x0 & 1 =a & ax+b0 & c,
t,u(x),t^-1 =a & ax+b0 & c a^-1 & -bac[3pt]0 & c^-1 =1 & a,xc0 & 1in U
Assim t,U,t^-1subseteq U e U é normal em T.]

Passo 5

(d) Definimos o homomorfismo
varphicolon Tlongrightarrow R^timestimesR^times, varphil(a & b0 & cr) =(a,c)
É fácil ver que varphi é sobrejetor, e
kervarphi=l1 & b0 & 1r=U.
Pelo Teorema do Homomorfismo,
T/Ucong R^timestimesR^times,
que é abeliano. Portanto T/U é abeliano.

Passo 6

(e) Para ver que não é normal em ,
basta achar um tal que
. Por exemplo, tome
. Se
, então
que é triangular inferior e, em geral, não pertence a . Logo
não é normal em .

Resposta

(a) U<= T.
(b) U é abeliano.
(c) U é normal em T.
(d) T/U é abeliano.
(e) T não é normal em GL2(R).

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