Seja o grupo das matrizes triangulares superiores não singulares com entradas em ; isto é, matrizes da forma
onde a, b, c in R e a c neq 0. Seja U consistindo de matrizes da forma
(ll 1 & x 0 & 1 ),
onde x in R.
(a) Mostre que U é um subgrupo de T.
(b) Prove que U é abeliano.
(c) Prove que U é normal em T.
(d) Mostre que T / U é abeliano.
(e) T é normal em GL2(R) ?
Passo 1
O enunciado trata do grupo
T = la & b0 & cmid a,b,cinR,;acneq0r
e do subconjunto
U = l1 & x0 & 1mid xinRr
O conteúdo é teoria de grupos: mostrar que U é subgrupo de T, é abeliano, é normal em T, que o quociente T/U é abeliano e, por fim, verificar se T é normal em GL2(R). Para isso, usaremos os testes de subgrupo e normalidade, cálculo de inversa e o teorema do homomorfismo.
Passo 2
(a) Para U ser subgrupo de T basta checar fechamento, identidade e inversos. 1. Fechamento: se u(x)=1 & x0 & 1
e u(y)=1 & y0 & 1,
então
(b) Para mostrar que U é abeliano, basta ver que a soma em R é comutativa:
u(x),u(y) =1 & x+y0 & 1 =1 & y+x0 & 1 =u(y),u(x)
Passo 4
(c) Para U ser normal em T verificamos que, para qualquer t=a & b0 & cin T
e qualquer u(x)=1 & x0 & 1in U,
o conjugado t,u(x),t^-1 pertence a U.
Calculando:
t^-1 =a & b0 & c^-1 =a^-1 & -,bac[6pt]0 & c^-1,
t,u(x) =a & b0 & c 1 & x0 & 1 =a & ax+b0 & c,
t,u(x),t^-1 =a & ax+b0 & c a^-1 & -bac[3pt]0 & c^-1 =1 & a,xc0 & 1in U