Liste os elementos dos subgrupos lang<= 20rang<= e lang<= 10rang<= em Z30.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os subgrupos gerados por 20 e por 10 em Z30. Aqui o conteúdo é grupo cíclico finito e geração de subgrupo: em Zn temos
lang<= arang<= = k,a bmod n mid kinZ
e o tamanho de lang<= arang<= é tfracngcd(a,n).

Passo 2

Calculemos gcd(20,30).
gcd(20,30)=10
Logo lang<= 20rang<= tem ordem tfrac3010=3. Para listar os elementos basta calcular kcdot20pmod30 para k=0,1,2:
0cdot20equiv0, 1cdot20equiv20, 2cdot20equiv40equiv10pmod30
Portanto
lang<= 20rang<==0,,20,,10

Passo 3

Agora gcd(10,30)=10, então lang<= 10rang<= também tem ordem tfrac3010=3. Calculando kcdot10pmod30 para k=0,1,2:
0cdot10equiv0, 1cdot10equiv10, 2cdot10equiv20pmod30
Logo
lang<= 10rang<==0,,10,,20

Passo 4

Observamos que lang<= 20rang<= e lang<= 10rang<= coincidem, pois ambos têm gcd=10 em relação a 30.

Resposta

lang<= 20rang<==0,10,20
lang<= 10rang<==0,10,20

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