Sejam a e b elementos em um grupo G. Prove que a b^n a^-1=(a b a^-1)^n for n in Z.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que em qualquer grupo G, dados a,bin G e qualquer inteiro n, vale
a,b^n,a^-1 = l(a,b,a^-1r)^n
O conteúdo aqui é a propriedade de conjugação em grupos e como ela interage com potências. Vamos usar indução para n>=0 e depois tratar n<0.

Passo 2

Caso n=0.
Pela definição de potência em grupo, b^0=e (elemento neutro), logo
a,b^0,a^-1=a,e,a^-1=a,a^-1=e
por outro lado
l(a,b,a^-1r)^0=e
Assim a igualdade é verdadeira para n=0.

Passo 3

Passo indutivo para n>0.
Suponha que para algum k>=0 já tenhamos
a,b^k,a^-1=l(a,b,a^-1r)^k
Então para n=k+1 temos
a,b^k+1,a^-1 = a,(b^kb),a^-1 = l(a,b^kr),(b,a^-1)
Agora reagrupamos usando a^-1a=e:
l(a,b^kr),(b,a^-1) = l(a,b^k,a^-1r),l(a,b,a^-1r) oversetHI= l(a,b,a^-1r)^k,l(a,b,a^-1r) = l(a,b,a^-1r)^k+1
Assim a propriedade vale para k+1.

Passo 4

Caso n<0.
Escreva n=-m com m>0. Então b^n=(b^-1)^m e
l(a,b,a^-1r)^n =l(a,b,a^-1r)^-m =l((a,b,a^-1)^-1r)^m
Mas em grupos vale (a,b,a^-1)^-1=a,b^-1,a^-1. Aplicando o caso positivo (já provado para potências de b^-1) obtemos
a,b^n,a^-1 = a,(b^-1)^m,a^-1 = l(a,b^-1,a^-1r)^m = l((a,b,a^-1)^-1r)^m = l(a,b,a^-1r)^n

Resposta

Para todo ninZ vale
a,b^n,a^-1 ;=;l(a,b,a^-1r)^n

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