Sejam
e
elementos em um grupo
. Prove que
for
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que em qualquer grupo
, dados
e qualquer inteiro
, vale
O conteúdo aqui é a propriedade de conjugação em grupos e como ela interage com potências. Vamos usar indução para
e depois tratar
.
Passo 2
Caso
.
Pela definição de potência em grupo, (elemento neutro), logo
Pela definição de potência em grupo,
por outro lado
Assim a igualdade é verdadeira para
.
Passo 3
Passo indutivo para
.
Suponha que para algum já tenhamos
Suponha que para algum
Então para
temos
Agora reagrupamos usando
:
Assim a propriedade vale para
.
Passo 4
Caso
.
Escreva com
. Então
e
Escreva
Mas em grupos vale
. Aplicando o caso positivo (já provado para potências de
) obtemos
Resposta
Para todo
vale