Seja G um conjunto não vazio fechado para a associatividade do produto e que satisfaz:
(a) Existe um e in G talque a e=a, forall a in G.
(b) Dado a in G, existe um elemento y(a) in G tal que a y(a)=e.
Prove que G é um grupo para este produto.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um conjunto G, não vazio, fechado e cujo produto é associativo. Sabemos que
  1. Existe um elemento ein G tal que
a,e = a, forall ain G
  1. Para cada ain G existe um elemento y(a)in G (um “inverso à direita”) tal que
a,y(a)=e
Queremos provar que G é um grupo, ou seja, que e é identidade em ambos os lados e que cada y(a) é inverso em ambos os lados.

Passo 2

Mostramos que cada y(a) é também inverso à esquerda de a. Defina
z ;=; yl(y(a)r)
Então, pela propriedade de inverso à direita aplicada a y(a), temos
y(a),z = e
Por outro lado, usando que e é identidade à direita e associatividade,
z ;=; e,z ;=;(a,y(a)),z ;=;a,(y(a),z) ;=;a,e ;=;a
Logo z=a. Substituindo de volta em y(a),z=e obtemos
y(a),a = e,
isto é, y(a) também é inverso à esquerda de a.

Passo 3

Agora mostramos que e é identidade à esquerda. Partindo de y(a),a=e e multiplicando à esquerda por a, temos
a,(y(a),a) ;=; a,e Longrightarrow (a,y(a)),a ;=; a Longrightarrow e,a ;=; a,
pois a,y(a)=e. Assim concluímos que
e,a = a e já tínhamos a,e = a, áí
logo e é identidade em ambos os lados.

Passo 4

Reunindo:
  • Fechamento e associatividade são hipóteses.
  • e é identidade à direita (hipótese) e à esquerda (Passo 3).
  • Cada a tem inverso à direita y(a) (hipótese) e, pelo Passo 2, também à esquerda.
Portanto todos os axiomas de grupo são satisfeitos.

Resposta

G é um grupo para o produto dado.

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