Seja
um conjunto não vazio fechado para a associatividade do produto e que satisfaz:
(a) Existe um
talque
.
(b) Dado
, existe um elemento
tal que
.
Prove que
é um grupo para este produto.
(a) Existe um
(b) Dado
Prove que
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos um conjunto
, não vazio, fechado e cujo produto é associativo. Sabemos que
- Existe um elemento
tal que
- Para cada
existe um elemento (um “inverso à direita”) tal que
Queremos provar que
é um grupo, ou seja, que
é identidade em ambos os lados e que cada
é inverso em ambos os lados.
Passo 2
Mostramos que cada
é também inverso à esquerda de
. Defina
Então, pela propriedade de inverso à direita aplicada a
, temos
Por outro lado, usando que
é identidade à direita e associatividade,
Logo
. Substituindo de volta em
obtemos
isto é,
também é inverso à esquerda de
.
Passo 3
Agora mostramos que
é identidade à esquerda. Partindo de
e multiplicando à esquerda por
, temos
pois
. Assim concluímos que
logo
é identidade em ambos os lados.
Passo 4
Reunindo:
- Fechamento e associatividade são hipóteses.
-
é identidade à direita (hipótese) e à esquerda (Passo 3). - Cada
tem inverso à direita (hipótese) e, pelo Passo 2, também à esquerda.
Portanto todos os axiomas de grupo são satisfeitos.