Construa a tabela de multiplicação de U(12).

Passo 1

O enunciado pede a tabela de multiplicação do grupo U(12). O conteúdo aqui é teoria de grupos abelianos finitos: U(n) é o conjunto das classes invertíveis módulo n, ou seja, dos inteiros 1\le k\le n-1 tais que \gcd(k,n)=1. Para montar a tabela, precisamos (1) listar esses elementos e (2) calcular todos os produtos módulo 12.

Passo 2

Determinar U(12). São todos os inteiros de 1 a 11 que sejam coprimos com 12. Calculando rapidamente:
\gcd(1,12)=1,
\gcd(5,12)=1,
\gcd(7,12)=1,
\gcd(11,12)=1,
e para os demais 2,3,4,6,8,9,10 a \gcd não é 1.
Portanto
U(12)=\{\,1,5,7,11\}.

Passo 3

Para cada par (a,b) em U(12)\times U(12), calculamos
a\cdot b \bmod 12,
reduzindo o produto padrão de inteiros módulo 12.

Passo 4

Fazendo esses cálculos, obtemos
\begin{array}{c|cccc} \times & 1 & 5 & 7 & 11 \\\ \hline 1 & 1 & 5 & 7 & 11 \\\\ 5 & 5 & 25\bmod12=1 & 35\bmod12=11 & 55\bmod12=7 \\\\ 7 & 7 & 35\bmod12=11 & 49\bmod12=1 & 77\bmod12=5 \\\\ 11 & 11& 55\bmod12=7 & 77\bmod12=5 & 121\bmod12=1 \\\ \end{array}

Resposta

\begin{array}{c|cccc} \times & 1 & 5 & 7 & 11 \\\ \hline 1 & 1 & 5 & 7 & 11 \\\\ 5 & 5 & 1 & 11 & 7 \\\\ 7 & 7 & 11 & 1 & 5 \\\\ 11 & 11& 7 & 5 & 1 \\\ \end{array}

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