Determine a ordem de \overline{12} em U(25) e a ordem de \overline{4} em U(255)

Passo 1

O enunciado pede a ordem de \overline{12} no grupo multiplicativo U(25) e de \overline{4} em U(255).
O conteúdo principal é a definição de ordem de um elemento num grupo finito: é o menor inteiro k>0 tal que a potência a^k\equiv1\pmod{n}. Vamos usar também que a ordem divide \varphi(n) e, para n composto, o Teorema Chinês dos Restos para decompor o cálculo.

Passo 2

Para \overline{12} em U(25), primeiro note que
\varphi(25)=25\bigl(1-\tfrac1{5}\bigr)=20,
logo a ordem de \overline{12} divide 20. Calculamos algumas potências para descartar divisores próprios:
12^2\equiv144\equiv19\pmod{25},\quad 12^4\equiv19^2=361\equiv11\pmod{25},
12^5\equiv12^4\cdot12\equiv11\cdot12=132\equiv7\pmod{25},\quad 12^{10}\equiv7^2=49\equiv24\pmod{25}.
Nenhum desses dá 1, então o próximo divisor é 20.

Passo 3

Como \varphi(25)=20 e não há expoente menor que 20 que faça 12^k\equiv1\pmod{25}, concluímos que a ordem de \overline{12} em U(25) é
20.

Passo 4

Para \overline{4} em U(255), observe a fatoração
255=3\cdot5\cdot17.
Pelo Teorema Chinês dos Restos, a ordem de \overline{4} em U(255) é o \mathrm{lcm} das ordens de \overline{4} em cada U(p):
  • Módulo 3: 4\equiv1\pmod3, ordem 1.
  • Módulo 5: 4^2=16\equiv1\pmod5, ordem 2.
  • Módulo 17: como \varphi(17)=16, testamos 4^2=16\not\equiv1,\quad4^4=(4^2)^2=16^2=256\equiv1\pmod{17},logo ordem 4.

Passo 5

A ordem de \overline{4} em U(255) é
\mathrm{lcm}(1,2,4)=4.

Resposta

A ordem de \overline{12} em U(25) é 20 e a ordem de \overline{4} em U(255) é 4.

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