Determine:
\overline{37}^{-1} em \mathbb{Z}_{125}.

Passo 1

O problema pede o inverso multiplicativo de \overline{37} no anel \mathbb{Z}_{125}, ou seja, encontrar \overline{x} tal que
37x \equiv 1 \pmod{125}.
Para isso, vamos usar o algoritmo de Euclides estendido, que nos permite escrever o máximo divisor comum como combinação linear de 37 e 125.

Passo 2

Primeiro, calculamos \gcd(125,37) pelo algoritmo de Euclides:
\begin{aligned} 125 &= 37 \times 3 + 14,\\\\ 37 &= 14 \times 2 + 9,\\\\ 14 &= 9 \times 1 + 5,\\\\ 9 &= 5 \times 1 + 4,\\\\ 5 &= 4 \times 1 + 1,\\\\ 4 &= 1 \times 4 + 0. \end{aligned}
Como o último resto não-nulo é 1, temos \gcd(125,37)=1, logo o inverso existe.

Passo 3

Agora fazemos a retro-substituição para expressar 1 como combinação de 125 e 37:
\begin{aligned} 1 &= 5 - 4\cdot 1,\\\\ 4 &= 9 - 5\;\Longrightarrow\;1 = 5 - (9-5) = 2\cdot5 - 9,\\\\ 5 &= 14 - 9\;\Longrightarrow\;1 = 2(14-9) - 9 = 2\cdot14 - 3\cdot9,\\\\ 9 &= 37 - 2\cdot14\;\Longrightarrow\;1 = 2\cdot14 - 3(37-2\cdot14) = 8\cdot14 - 3\cdot37,\\\\ 14 &= 125 - 3\cdot37\;\Longrightarrow\; 1 = 8(125-3\cdot37) - 3\cdot37 = 8\cdot125 - 27\cdot37. \end{aligned}
Portanto
-27\cdot 37 + 8\cdot125 = 1.

Passo 4

Da combinação linear acima vemos que x=-27 satisfaz 37x\equiv1\pmod{125}. Em \mathbb{Z}_{125},
x \equiv -27 \equiv 125 - 27 = 98.

Resposta

\overline{37}^{-1} = \overline{98} em \mathbb{Z}_{125}.

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