Determine:
\overline{n-1}^{-1} em \mathbb{Z}_{n}, n \geq 2.

Passo 1

O enunciado pede o inverso de \overline{n-1} no anel \mathbb{Z}_{n}, para n\ge2. O conteúdo envolvido é aritmética modular, em especial a definição de elemento invertível em \mathbb{Z}_{n} e o cálculo de inversos.

Passo 2

Em \mathbb{Z}_{n}, \overline{a} é invertível se, e somente se, \gcd(a,n)=1. Como
\gcd(n-1,n)=1,
concluímos que \overline{n-1} é de fato invertível.

Passo 3

Note que em \mathbb{Z}_{n} vale
\overline{n-1} = \overline{-1}.
Mas \overline{-1}^2 = \overline{(-1)^2} = \overline{1}, logo \overline{-1} é auto-inverso.

Passo 4

Portanto o inverso de \overline{n-1} é ele mesmo, ou seja
\overline{n-1}^{-1} = \overline{n-1}.

Resposta

\overline{n-1}^{-1} = \overline{n-1}.

Exercícios relacionados