Determine: \overline{n-1}^{-1} em \mathbb{Z}_{n}, n \geq 2.
Passo 1
O enunciado pede o inverso de \overline{n-1} no anel \mathbb{Z}_{n}, para n\ge2. O conteúdo envolvido é aritmética modular, em especial a definição de elemento invertível em \mathbb{Z}_{n} e o cálculo de inversos.
Passo 2
Em \mathbb{Z}_{n}, \overline{a} é invertível se, e somente se, \gcd(a,n)=1. Como
\gcd(n-1,n)=1,
concluímos que \overline{n-1} é de fato invertível.
Passo 3
Note que em \mathbb{Z}_{n} vale
\overline{n-1} = \overline{-1}.
Mas \overline{-1}^2 = \overline{(-1)^2} = \overline{1}, logo \overline{-1} é auto-inverso.
Passo 4
Portanto o inverso de \overline{n-1} é ele mesmo, ou seja