Determine \varphi(4620), \varphi\left(30^{4}\right), \varphi\left(6^{23} \cdot 8^{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a função totiente de Euler \varphi em três números: 4620, 30^{4} e 6^{23}\cdot8^{2}. Vamos usar fatoração em números primos, a propriedade multiplicativa de \varphi e a fórmula
\varphi(p^{k})=p^{k}-p^{k-1}\,.

Passo 2

Calcular \varphi(4620). Primeiro fatoramos
4620 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11.
Como \varphi é multiplicativa em fatores primos distintos,
\varphi(4620) =\varphi(2^2)\,\varphi(3)\,\varphi(5)\,\varphi(7)\,\varphi(11).
Usando \varphi(p^k)=p^k-p^{k-1} e \varphi(p)=p-1, temos
\varphi(2^2)=2^2-2^1=2,\quad \varphi(3)=2,\quad \varphi(5)=4,\quad \varphi(7)=6,\quad \varphi(11)=10.
Logo
\varphi(4620)=2\cdot2\cdot4\cdot6\cdot10=960.

Passo 3

Calcular \varphi\bigl(30^{4}\bigr). Fatoramos
30=2\cdot3\cdot5\quad\Longrightarrow\quad 30^4=2^4\cdot3^4\cdot5^4.
Pela multiplicatividade,
\varphi(30^4) =\varphi(2^4)\,\varphi(3^4)\,\varphi(5^4).
Aplicando \varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}:
\varphi(2^4)=16-8=8,\quad \varphi(3^4)=81-27=54,\quad \varphi(5^4)=625-125=500.
Portanto
\varphi(30^4)=8\cdot54\cdot500=216000.

Passo 4

Calcular \varphi\bigl(6^{23}\cdot8^{2}\bigr). Escrevemos
6^{23}\cdot8^{2}=(2\cdot3)^{23}\cdot(2^3)^{2} =2^{23}\,3^{23}\,2^{6} =2^{29}\,3^{23}.
Como os fatores são coprimos,
\varphi(2^{29}\,3^{23}) =\varphi(2^{29})\,\varphi(3^{23}).
Usando a fórmula:
\varphi(2^{29})=2^{29}-2^{28}=2^{28},\quad \varphi(3^{23})=3^{23}-3^{22}=2\cdot3^{22}.
Multiplicando,
\varphi(6^{23}\cdot8^{2}) =2^{28}\,\bigl(2\cdot3^{22}\bigr) =2^{29}\,3^{22}.

Resposta

\varphi(4620)=960 \varphi(30^{4})=216000 \varphi(6^{23}\cdot8^{2})=2^{29}\,3^{22}

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