Construa a tabela de multiplicação de
e
.
Passo 1
O enunciado pede para construir as tabelas de multiplicação dos grupos das unidades de \mathbb{Z}6 e \mathbb{Z}{10}, ou seja, \mathbb{Z}6^* e \mathbb{Z}{10}^*. O conteúdo aqui é teoria de grupos de unidades em anéis \mathbb{Z}_n, e vamos precisar usar a definição de unidade: um elemento \bar{a} é unidade em \mathbb{Z}_n se \gcd(a,n)=1, e o produto é feito módulo \ n.
Passo 2
Para montar qualquer tabela de multiplicação em \mathbb{Z}_n^* a primeira coisa é listar seus elementos, ou seja, todos os \bar{a} tais que \gcd(a,n)=1. No caso de \mathbb{Z}6^*, como \phi(6)=2, os elementos são \{\bar{1},\bar{5}\}. Para \mathbb{Z}{10}^*, como \phi(10)=4, os elementos são \{\bar{1},\bar{3},\bar{7},\bar{9}\}.
Passo 3
Agora vamos montar a tabela de multiplicação de \mathbb{Z}_6^*. Lembrando que fazemos o produto dos resíduos e depois reduzimos módulo \;6.
Passo 4
Em seguida, construímos a tabela de multiplicação de \mathbb{Z}_{10}^* usando o mesmo processo: multiplicar representantes e reduzir módulo \;10.
Resposta
Aqui estão as tabelas de multiplicação:
Para \mathbb{Z}_6^*:
$$
\begin{array}{c|cc}
\cdot & \bar{1} & \bar{5} \\ \hline
\bar{1} & \bar{1} & \bar{5} \\n\bar{5} & \bar{5} & \bar{1}
\end{array}
$$
\begin{array}{c|cc}
\cdot & \bar{1} & \bar{5} \\ \hline
\bar{1} & \bar{1} & \bar{5} \\n\bar{5} & \bar{5} & \bar{1}
\end{array}
$$
Para \mathbb{Z}_{10}^*:
$$
\begin{array}{c|cccc}
\cdot & \bar{1} & \bar{3} & \bar{7} & \bar{9} \\ \hline
\bar{1} & \bar{1} & \bar{3} & \bar{7} & \bar{9} \\n\bar{3} & \bar{3} & \bar{9} & \bar{1} & \bar{7} \\n\bar{7} & \bar{7} & \bar{1} & \bar{9} & \bar{3} \\n\bar{9} & \bar{9} & \bar{7} & \bar{3} & \bar{1}
\end{array}
$$
\begin{array}{c|cccc}
\cdot & \bar{1} & \bar{3} & \bar{7} & \bar{9} \\ \hline
\bar{1} & \bar{1} & \bar{3} & \bar{7} & \bar{9} \\n\bar{3} & \bar{3} & \bar{9} & \bar{1} & \bar{7} \\n\bar{7} & \bar{7} & \bar{1} & \bar{9} & \bar{3} \\n\bar{9} & \bar{9} & \bar{7} & \bar{3} & \bar{1}
\end{array}
$$