Seja m um inteiro ímpar. Mostre que em Zm temos 1+2+ldots+m-1=0.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o enunciado: seja m um inteiro ímpar e queremos mostrar que em Zm vale
1+2+cdots+m-1=0
O conteúdo aqui é aritmética modular e veremos como agrupar termos para simplificar a soma.

Passo 2

Para cada k=1,2,dots,m-1, considere o elemento complementar m-k. Note que em Zm
k+m-k=k+(m-k)=m=0
Como m é ímpar, m-1 é par, e não existe k tal que k=m-k (isto exigiria 2k=m, impossível para m ímpar). Assim podemos organizar todos os m-1 termos em pares distintos cuja soma é 0.

Passo 3

Cada um desses pares soma 0, e há exatamente (m-1)/2 pares. Logo a soma de todos os termos é
underbrace0+0+cdots+0(m-1)/2 vezes=0
Portanto concluímos que
1+2+cdots+m-1=0

Resposta

1+2+cdots+m-1=0

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