Sejam U e V K-espaços vetoriais de dimensōes n e m e bases fixas B e B^prime, respectivamente. Prove que dada uma matriz A in Mm times n(K) existe uma única transformação linear T: U V tal que [T] B^primeB=A.

Passo 1

O enunciado diz que temos espaços vetoriais U e V sobre ,mathbb{K} de dimensões n e m, com bases fixas B=u1,dots,un e B'=v1,dots,vm, e nos pede para mostrar que, dado qualquer A em M_{m\times n}(\mathbb{K}), existe e é única uma aplicação linear T\colon U\to V cujo matriz representaçao de B em B’ seja A.

Passo 2

Para construir T, usamos o fato de que uma aplicação linear é determinada pelos valores em uma base. Sejam os elementos de A escritos em colunas como A=(aij) com i indo de 1 a m e j de 1 a n. Definimos em cada vetor da base uj:
T(uj)=a1jv1+ a2jv2+cdots +amjvm

Passo 3

Mostramos que isso define uma aplicação linear em todo U: dado um vetor genérico u=sumj=1^n xj uj, estendemos T por linearidade:
T(u)=Tl(sumj=1^n xj ujr)=sumj=1^n xj T(uj)=sumj=1^n xjsumi=1^m aijvi
Isso garante que para qualquer coordenada (x1,dots,xn)^t=[u]underline B, temos
[T(u)]B'=A,[u]underline B,
ilustrando que a matriz de T de B em B’ é justamente A.

Passo 4

Para a unicidade, assumimos que existe outra aplicação linear S com mesma matriz A. Então, em cada vetor da base uj teríamos
S(uj)=[S(uj)]B'=j-ésima coluna de A=a1jv1+cdots+amjvm= T(uj) é
Como S e T coincidem em uma base e são lineares, elas coincidem em todo U. Logo, T é única.

Resposta

Definimos T por
Tl(sumj=1^n xj ujr)=sumi=1^msumj=1^n aijxj,vi,
o que garante [T]B'/underline B=A. A unicidade vem do fato de que qualquer outra aplicação linear com a mesma matriz deve coincidir em cada vetor da base e, portanto, em todo U.

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