Determine varphi(720) onde varphi denota a função de Euler.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a função totiente de Euler varphi(720). O conteúdo é aritmética elementar com fatoração em números primos e a fórmula multiplicativa de varphi.

Passo 2

Vamos fatorar 720 em números primos. Dividindo sucessivamente, obtemos:
720 = 2^4 cdot 3^2 cdot 5^1

Passo 3

A teoria diz que, se n=prodi pi^ai, então
varphi(n)=nprodil(1-1pir)
Aplicando a 720, primeiro escrevemos a expressão de varphi(720) com os fatores:
$$\varphi(720)=720\bigl(1-\tfrac12\bigr)\bigl(1-\tfrac13\bigr)\bigl(1-\tfrac15\bigr).
$$

Passo 4

Agora calculamos cada termo:
  1. 1-tfrac12=tfrac12
  2. 1-tfrac13=tfrac23
  3. 1-tfrac15=tfrac45
    Logo,
varphi(720)=720timestfrac12timestfrac23timestfrac45=360timestfrac23timestfrac45=240timestfrac45=192

Resposta

192

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