Construa a tabela-verdade de cada uma das proposições abaixo:
(k) \sim(p \wedge q) \vee \sim(p \leftrightarrow q)

Passo 1

O enunciado pede: construir a tabela-verdade da proposição \sim(p \wedge q) \vee \sim(p \leftrightarrow q).
Informações dadas:
  • As variáveis proposicionais são p e q.
  • A fórmula é a disjunção entre \sim(p\wedge q) e \sim(p\leftrightarrow q).
  • Precisamos considerar todas as combinações possíveis de verdade para p e q: (\text{V},\text{V}), (\text{V},\text{F}), (\text{F},\text{V}), (\text{F},\text{F}).

Passo 2

Vamos lembrar o que cada conectivo faz (regras de formação de valor de verdade). Vou usar \text{V} para verdadeiro e \text{F} para falso.
Negação \sim A:
\begin{array}{c|c} A & \sim A\\hline \text{V} & \text{F}\\\ \text{F} & \text{V} \end{array}
Ou seja, \sim A é verdadeiro quando A é falso, e falso quando A é verdadeiro.

Passo 3

Conjunção A \wedge B:
\begin{array}{c c|c} A & B & A\wedge B\\hline \text{V} & \text{V} & \text{V}\\\ \text{V} & \text{F} & \text{F}\\\ \text{F} & \text{V} & \text{F}\\\ \text{F} & \text{F} & \text{F} \end{array}
Ou seja, A\wedge B é verdadeiro só quando ambos A e B são verdadeiros.

Passo 4

Disjunção A \vee B:
\begin{array}{c c|c} A & B & A\vee B\\hline \text{V} & \text{V} & \text{V}\\\ \text{V} & \text{F} & \text{V}\\\ \text{F} & \text{V} & \text{V}\\\ \text{F} & \text{F} & \text{F} \end{array}
Ou seja, A\vee B é falso apenas quando ambos são falsos; caso contrário é verdadeiro.

Passo 5

Bicondicional A \leftrightarrow B (equivalência):
\begin{array}{c c|c} A & B & A\leftrightarrow B\\hline \text{V} & \text{V} & \text{V}\\\ \text{V} & \text{F} & \text{F}\\\ \text{F} & \text{V} & \text{F}\\\ \text{F} & \text{F} & \text{V} \end{array}
Ou seja, A\leftrightarrow B é verdadeiro quando A e B têm o mesmo valor de verdade, falso caso tenham valores diferentes.

Passo 6

Planejamento da tabela: vamos montar colunas para
p,\quad q,\quad p\wedge q,\quad \sim(p\wedge q),\quad p\leftrightarrow q,\quad \sim(p\leftrightarrow q),\quad \sim(p\wedge q)\vee\sim(p\leftrightarrow q).
A ordem das linhas será:
  1. p=\text{V}, q=\text{V}
  2. p=\text{V}, q=\text{F}
  3. p=\text{F}, q=\text{V}
  4. p=\text{F}, q=\text{F}

Passo 7

Calcular p\wedge q linha a linha usando a regra da conjunção:
  1. Se p=\text{V}, q=\text{V} então p\wedge q=\text{V}.
  2. Se p=\text{V}, q=\text{F} então p\wedge q=\text{F}.
  3. Se p=\text{F}, q=\text{V} então p\wedge q=\text{F}.
  4. Se p=\text{F}, q=\text{F} então p\wedge q=\text{F}.

Passo 8

Aplicar a negação para obter \sim(p\wedge q):
  1. De p\wedge q=\text{V} vem \sim(p\wedge q)=\text{F}.
  2. De p\wedge q=\text{F} vem \sim(p\wedge q)=\text{V}.
  3. De p\wedge q=\text{F} vem \sim(p\wedge q)=\text{V}.
  4. De p\wedge q=\text{F} vem \sim(p\wedge q)=\text{V}.

Passo 9

Calcular p\leftrightarrow q linha a linha usando a regra do bicondicional (verdadeiro quando iguais):
  1. p=\text{V}, q=\text{V} então p\leftrightarrow q=\text{V}.
  2. p=\text{V}, q=\text{F} então p\leftrightarrow q=\text{F}.
  3. p=\text{F}, q=\text{V} então p\leftrightarrow q=\text{F}.
  4. p=\text{F}, q=\text{F} então p\leftrightarrow q=\text{V}.

Passo 10

Aplicar a negação para obter \sim(p\leftrightarrow q):
  1. De p\leftrightarrow q=\text{V} vem \sim(p\leftrightarrow q)=\text{F}.
  2. De p\leftrightarrow q=\text{F} vem \sim(p\leftrightarrow q)=\text{V}.
  3. De p\leftrightarrow q=\text{F} vem \sim(p\leftrightarrow q)=\text{V}.
  4. De p\leftrightarrow q=\text{V} vem \sim(p\leftrightarrow q)=\text{F}.

Passo 11

Finalmente, avaliar a disjunção \sim(p\wedge q)\vee\sim(p\leftrightarrow q) por linha (a disjunção é verdadeira se pelo menos um dos operandos é \text{V}):
  1. Linha p=\text{V},q=\text{V}: \sim(p\wedge q)=\text{F} e \sim(p\leftrightarrow q)=\text{F}, então a disjunção é \text{F}\vee\text{F}=\text{F}.
  2. Linha p=\text{V},q=\text{F}: \sim(p\wedge q)=\text{V} e \sim(p\leftrightarrow q)=\text{V}, então \text{V}\vee\text{V}=\text{V}.
  3. Linha p=\text{F},q=\text{V}: \sim(p\wedge q)=\text{V} e \sim(p\leftrightarrow q)=\text{V}, então \text{V}\vee\text{V}=\text{V}.
  4. Linha p=\text{F},q=\text{F}: \sim(p\wedge q)=\text{V} e \sim(p\leftrightarrow q)=\text{F}, então \text{V}\vee\text{F}=\text{V}.

Resposta

p\quad q\quad p\wedge q\quad \sim(p\wedge q)\quad p\leftrightarrow q\quad \sim(p\leftrightarrow q)\quad \sim(p\wedge q)\vee\sim(p\leftrightarrow q)
\text{V}\quad\text{V}\quad\text{V}\quad\text{F}\quad\text{V}\quad\text{F}\quad\text{F}
\text{V}\quad\text{F}\quad\text{F}\quad\text{V}\quad\text{F}\quad\text{V}\quad\text{V}
\text{F}\quad\text{V}\quad\text{F}\quad\text{V}\quad\text{F}\quad\text{V}\quad\text{V}
\text{F}\quad\text{F}\quad\text{F}\quad\text{V}\quad\text{V}\quad\text{F}\quad\text{V}

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