A lógica matemática analisa determinada proposição buscando identificar se representa uma afirmação verdadeira ou falsa. Quais das afirmações seguintes são verdadeiras (V) e quais são falsas (F).
(d) Todos os humanos são mortais.

Passo 1

O enunciado pede para identificar se a afirmação “Todos os humanos são mortais.” é verdadeira (V) ou falsa (F). Informação dada:
  • A frase a analisar é: “Todos os humanos são mortais.”

Passo 2

Primeiro vamos traduzir a frase para a linguagem da lógica de predicados, isso ajuda a ver claramente o que está sendo afirmado. Seja H(x) a propriedade " x é humano" e M(x) a propriedade " x é mortal". A frase “Todos os humanos são mortais” pode ser formalizada como
\forall x\bigl(H(x)\rightarrow M(x)\bigr).
Explicando essa fórmula passo a passo:
  • O símbolo \forall x significa "para todo x" (quantificador universal).
  • A expressão H(x)\rightarrow M(x) significa “se x é humano então x é mortal”.
  • Juntando: para cada objeto x do domínio, se x for humano então x é mortal.

Passo 3

Agora uma observação importante sobre o significado lógico dessa afirmação: uma fórmula universal \forall x(P(x)) é verdadeira em um modelo exatamente quando não existe nenhum contraexemplo. Em termos equivalentes,
\forall x\bigl(H(x)\rightarrow M(x)\bigr)\quad\text{é logicamente equivalente a}\quad\neg\exists x\bigl(H(x)\land \neg M(x)\bigr).é
Isto quer dizer: “Não existe nenhum x que seja humano e não seja mortal”. Então, para mostrar que a afirmação é verdadeira basta mostrar que não há nenhum humano que não seja mortal; para mostrar que é falsa basta apresentar um único contraexemplo: um humano que não seja mortal.

Passo 4

Dois pontos conceituais que ajudam na prova/avalição:
  • Se o domínio considerado não contém nenhum humano, a afirmação é verdadeira por vacuidade (uma universal sobre um conjunto vazio é verdadeira). Mas esse caso é artificial; normalmente o domínio é o conjunto dos seres do mundo real, que contém humanos.
  • Na prática, “ser mortal” é uma propriedade factual/empírica (um humano é mortal se ele morre eventualmente). Assim, a verdade da afirmação depende de fatos sobre o mundo (não é uma tautologia lógica). Em lógica matemática para exercícios do tipo clássico, assume-se o entendimento comum: humanos, como espécies conhecidas, morrem — não há humanos imortais conhecidos.

Passo 5

Como avaliar na prática, na hora da prova:
  • Procure um contraexemplo: um único indivíduo a tal que H(a) e \neg M(a). Se encontrar, a afirmação é falsa.
  • Se não houver nenhum contraexemplo conhecido (no modelo considerado), então a afirmação é verdadeira.
    No nosso mundo/interpretação usual (domínio = seres do mundo real, humanos = Homo sapiens, mortal = “acabam morrendo”), não existe nenhum humano conhecido que seja imortal. Portanto não existe x com H(x)\land \neg M(x). Assim a fórmula \forall x(H(x)\rightarrow M(x)) é verdadeira nessa interpretação.

Resposta

(d) V

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