Construa tabelas, com arredondamento até quatro casas decimais, para f(x)=ln x, próximo de x=1, x=2, x=5 e x=10. Use as tabelas para estimar f^prime(1), f^prime(2), f^prime(5) e f^prime(10). Depois, conjecture uma fórmula geral para f^prime(x).

Passo 1

O enunciado pede pra gente construir tabelas de valores de f(x)= ln x próximas a alguns pontos (1, 2, 5 e 10), e usar diferença central pra estimar a derivada nesses pontos. O conteúdo é derivada numérica via diferença de quociente e depois conjecturar a fórmula geral de f’(x).

Passo 2

Vamos usar passo h=0.001 e a fórmula da diferença central para derivadas:

Passo 3

f'(x)approxf(x+h)-f(x-h)2h

Passo 4

Para x=1 a tabela (arredondando cada ln a 4 casas) fica: x=0.999 → ln(0.999)= -0.0010; x=1.000 → ln(1.000)=0.0000; x=1.001 → ln(1.001)=0.0010. Assim

Passo 5

f'(1)approx0.0010 - (-0.0010)0.002=1.0000

Passo 6

Para x=2 a tabela: x=1.999 → ln(1.999)=0.6926; x=2.000 → ln(2.000)=0.6931; x=2.001 → ln(2.001)=0.6936. Então

Passo 7

f'(2)approx0.6936 - 0.69260.002=0.5000

Passo 8

Para x=5 a tabela: x=4.999 → ln(4.999)=1.6092; x=5.000 → ln(5.000)=1.6094; x=5.001 → ln(5.001)=1.6096. Logo

Passo 9

f'(5)approx1.6096 - 1.60920.002=0.2000

Passo 10

Para x=10 a tabela: x=9.999 → ln(9.999)=2.3025; x=10.000 → ln(10.000)=2.3026; x=10.001 → ln(10.001)=2.3027. Daí

Passo 11

f'(10)approx2.3027 - 2.30250.002=0.1000

Passo 12

Observando os valores estimados (1.0000, 0.5000, 0.2000, 0.1000), vemos o padrão f’(x)=1/x.

Resposta

f’(x)=1/x

Exercícios relacionados