Uma partícula desloca-se no espaço com equações paramétricas x=x(t), y=y(t) e z= z(t).Sabe-se que, para todo t,
d xd t=raiz2, d yd t=raiz2 e d^2 zd t^2=-2
Sabe-se, ainda, que d zd t(0)=2 e que no instante t=0 a partícula encontra-se na origem:
(a) Qual a posição da partícula no instante t ?
(b) Qual a velocidade escalar da partícula?
(c) Determine o instante T em que a partícula volta a tocar o plano x y.
(d) Qual o espaço percorrido pela partícula entre os instantes 0 e T ?
Observação: Esse é um exemplo resolvido no livro “Um curso de cálculo - Volume 2” ^ " ^ a Edição) de Hamilton Guidorizzi. Vocês podem consultar o exemplo presente no livro. Por esse motivo, quero que descrevam ao máximo o desenvolvimento e interpretações referente aos cálculos realizados.

Passo 1

O enunciado trata do movimento de uma partícula em três dimensões definido pelas funções paramétricas x=x(t), y=y(t), z=z(t). Sabemos que dxdt=raiz2, dydt=raiz2 e d^2zdt^2=-2, com condições iniciais l(x(0),y(0),z(0)r)=(0,0,0) e dzdt(0)=2. Vamos
  1. integrar para obter x(t), y(t) e z(t);
  2. encontrar a velocidade escalar;
  3. achar o instante em que volta ao plano xy (isto é, quando z=0);
  4. calcular o espaço percorrido entre t=0 e esse instante.

Passo 2

Integramos as equações de movimento:
Para x: dxdt=raiz2 é constante, logo
x(t)=raiz2,t + Cx
Como x(0)=0, então Cx=0 e
x(t)=raiz2,t
Para y: de modo análogo dydt=raiz2
y(t)=raiz2,t + Cy,
com y(0)=0 implica Cy=0, ou seja
y(t)=raiz2,t
Para z: partimos de d^2zdt^2=-2. Integrando uma vez,
dzdt=-2t + C1
Como dzdt(0)=2, segue C1=2, então
dzdt=2 - 2t
Integrando de novo,
z(t)=2t - t^2 + C2
Com z(0)=0 obtemos C2=0 e finalmente
z(t)=2t - t^2

Passo 3

A velocidade vetorial é
v(t)=l(dot x(t),dot y(t),dot z(t)r) =(raiz2,,raiz2,,2-2t)
A velocidade escalar (o módulo de v(t)) é
|v(t)| =raiz(raiz2)^2+(raiz2)^2+(2-2t)^2 =raiz2+2+(2-2t)^2 =raiz4+(2-2t)^2 =2raiz1+(1-t)^2

Passo 4

A partícula toca de novo o plano xy quando z(t)=0. Da expressão z(t)=2t-t^2,
2t - t^2=0 ;Longrightarrow; t(2-t)=0 ;Longrightarrow; t=0 ou t=2
Descartamos t=0 (início) e definimos
T=2

Passo 5

O espaço percorrido de t=0 a t=T é o comprimento da curva
s=integral0^2|v(t)|,dt =2integral0^2raiz1+(1-t)^2,dt
Fazemos u=1-t, du=-dt; quando t=0, u=1; quando t=2, u=-1. Então
s =2integralu=1^u=-1raiz1+u^2,(-du) =2integral-1^1raiz1+u^2,du =4integral0^1raiz1+u^2,du
Usamos a primitiva
integralraiz1+u^2,du =u2raiz1+u^2 +12lnl(u+raiz1+u^2r),
avaliando de 0 a 1:
integral0^1raiz1+u^2,du =12raiz2 +12lnl(1+raiz2r)
Logo
s =4l[12raiz2+12ln(1+raiz2)r] =2raiz2+2lnl(1+raiz2r)

Resposta

(a) l(x(t),y(t),z(t)r)=l(raiz2,t,raiz2,t,,2t-t^2r)
(b) v(t)=2raiz1+(1-t)^2
(c) T=2
(d) s=2raiz2+2lnl(1+raiz2r)

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