Uma partícula desloca-se no espaço com equações paramétricas
e
.Sabe-se que, para todo
,
Sabe-se, ainda, que
e que no instante
a partícula encontra-se na origem:
(a) Qual a posição da partícula no instante
?
(b) Qual a velocidade escalar da partícula?
(c) Determine o instante
em que a partícula volta a tocar o plano
.
(d) Qual o espaço percorrido pela partícula entre os instantes 0 e
?
Observação: Esse é um exemplo resolvido no livro “Um curso de cálculo - Volume 2”
Edição) de Hamilton Guidorizzi. Vocês podem consultar o exemplo presente no livro. Por esse motivo, quero que descrevam ao máximo o desenvolvimento e interpretações referente aos cálculos realizados.
(a) Qual a posição da partícula no instante
(b) Qual a velocidade escalar da partícula?
(c) Determine o instante
(d) Qual o espaço percorrido pela partícula entre os instantes 0 e
Passo 1
O enunciado trata do movimento de uma partícula em três dimensões definido pelas funções paramétricas
,
,
. Sabemos que
,
e
, com condições iniciais
e
. Vamos
- integrar para obter
, e ; - encontrar a velocidade escalar;
- achar o instante em que volta ao plano
(isto é, quando ); - calcular o espaço percorrido entre
e esse instante.
Passo 2
Integramos as equações de movimento:
Para
:
é constante, logo
Como
, então
e
Para
: de modo análogo
dá
com
implica
, ou seja
Para
: partimos de
. Integrando uma vez,
Como
, segue
, então
Integrando de novo,
Com
obtemos
e finalmente
Passo 3
A velocidade vetorial é
A velocidade escalar (o módulo de
) é
Passo 4
A partícula toca de novo o plano
quando
. Da expressão
,
Descartamos
(início) e definimos
Passo 5
O espaço percorrido de
a
é o comprimento da curva
Fazemos
,
; quando
,
; quando
,
. Então
Usamos a primitiva
avaliando de
a
:
Logo
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)