Mostre que a área da região \mathcal{R}=\{(x, y) \mid x \geq 1,0 \leq y \leq 1 / x\} é infinita, mas que o volume do sólido de revolução gerado pela rotação dessa região em torno do eixo x é finita.
6. Determine a velocidade de escape v_{0} que é necessária para que um foguete escape do campo gravitacional de um planeta de massa M e raio R. Utilize a lei da gravitação universal de Newton e o fato de que a energia cinética inicial E_{c}=\frac{1}{2} m v_{0}^{2} fornece todo o trabalho necessário.

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Na primeira, ele define a região \mathcal{R}=\{(x,y)\mid x\ge1,\;0\le y\le1/x\}
e pede para mostrar que a área de \mathcal{R} é infinita, mas que o volume do sólido obtido ao girar \mathcal{R} em torno do eixo x é finito. Isso envolve estudar integrais impróprias e seus testes de convergência.

Passo 2

Para calcular a área de \mathcal{R} fazemos a integral
\text{Área}=\int_{x=1}^{\infty}\bigl(\text{altura}\bigr)\,dx =\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\,dx.Á
Como
\int_{1}^{X}\frac{1}{x}\,dx=\bigl[\ln x\bigr]_{1}^{X}=\ln X,
quando X\to\infty temos \ln X\to\infty. Logo a área diverge e é infinita.

Passo 3

Ao girar \mathcal{R} em torno do eixo x, cada fatia em x gera um disco de raio y=1/x. O volume é
V=\int_{1}^{\infty}\pi\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)^{2}dx =\pi\int_{1}^{\infty}x^{-2}dx.
Calculamos
\int_{1}^{\infty}x^{-2}dx =\bigl[-\,x^{-1}\bigr]_{1}^{\infty} =0-(-1)=1,
logo
V=\pi\cdot1=\pi,
um valor finito.

Passo 4

Na segunda parte, queremos a velocidade de escape v_{0} para um foguete de massa m sair do campo gravitacional de um planeta de massa M e raio R. Usamos a Lei da Gravitação de Newton, que dá a força atrativa
F(r)=\frac{G\,M\,m}{r^{2}}.
A energia potencial gravitacional para levar o foguete de r=R até r\to\infty é o trabalho
W=\int_{R}^{\infty}\frac{G\,M\,m}{r^{2}}\,dr.
Esse trabalho deve vir da energia cinética inicial \tfrac12\,m\,v_{0}^{2}.

Passo 5

Calculando o trabalho:
\int_{R}^{\infty}\frac{G\,M\,m}{r^{2}}\,dr =G\,M\,m\bigl[-r^{-1}\bigr]_{R}^{\infty} =G\,M\,m\Bigl(0-\bigl(-\tfrac{1}{R}\bigr)\Bigr) =\frac{G\,M\,m}{R}.
Igualando à energia cinética:
\frac12\,m\,v_{0}^{2} =\frac{G\,M\,m}{R} \quad\Longrightarrow\quad v_{0}^{2}=\frac{2\,G\,M}{R} \quad\Longrightarrow\quad v_{0}=\sqrt{\frac{2\,G\,M}{R}}.

Resposta

A área de \mathcal{R} diverge (é infinita) pois \int_{1}^{\infty}1/x\,dx=\infty, mas o volume de revolução é \displaystyle V=\pi\int_{1}^{\infty}x^{-2}dx=\pi.
A velocidade de escape é
v_{0}=\sqrt{\frac{2\,G\,M}{R}}.

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