Mostre que a área da região
é infinita, mas que o volume do sólido de revolução gerado pela rotação dessa região em torno do eixo
é finita.
6. Determine a velocidade de escape
que é necessária para que um foguete escape do campo gravitacional de um planeta de massa
e raio
. Utilize a lei da gravitação universal de Newton e o fato de que a energia cinética inicial
fornece todo o trabalho necessário.
6. Determine a velocidade de escape
Passo 1
O enunciado tem duas partes. Na primeira, ele define a região
e pede para mostrar que a área de é infinita, mas que o volume do sólido obtido ao girar
em torno do eixo
é finito. Isso envolve estudar integrais impróprias e seus testes de convergência.
e pede para mostrar que a área de
Passo 2
Para calcular a área de
fazemos a integral
Como
quando
temos
. Logo a área diverge e é infinita.
Passo 3
Ao girar
em torno do eixo
, cada fatia em
gera um disco de raio
. O volume é
Calculamos
logo
um valor finito.
Passo 4
Na segunda parte, queremos a velocidade de escape
para um foguete de massa
sair do campo gravitacional de um planeta de massa
e raio
. Usamos a Lei da Gravitação de Newton, que dá a força atrativa
A energia potencial gravitacional para levar o foguete de
até
é o trabalho
Esse trabalho deve vir da energia cinética inicial
.
Passo 5
Calculando o trabalho:
Igualando à energia cinética:
Resposta
A área de
diverge (é infinita) pois
, mas o volume de revolução é
.
A velocidade de escape é
A velocidade de escape é