Construa uma tábua de soma e multiplicação para
e
. Vale a lei do cancelamento para a multiplicação definida em
. E para a multiplicação definida em
?
Passo 1
O enunciado pede para construirmos as tábuas de adição e de multiplicação nos anéis
e
, e em seguida verificar se vale a lei do cancelamento na multiplicação em cada caso. Vamos usar aritmética módulo
e módulo
.
Passo 2
Montamos a tábua de adição em
. As entradas são
:
Passo 3
Montamos a tábua de multiplicação em
. As entradas são
:
Passo 4
Em
todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo (por exemplo,
pois
). Isso faz de
um corpo, logo a lei do cancelamento vale: se
e
, então
.
Passo 5
Montamos a tábua de adição em
. As entradas são
:
Passo 6
Montamos a tábua de multiplicação em
. As entradas são
:
Passo 7
Em
existem divisores de zero (por exemplo,
com
e
). Assim não há inverso para todos os não nulos, e a lei do cancelamento falha. Um contraexemplo:
porém
.
Resposta
Vale a lei do cancelamento para a multiplicação em
.
Não vale a lei do cancelamento para a multiplicação em .
Não vale a lei do cancelamento para a multiplicação em