Construa uma tábua de soma e multiplicação para Z7 e Z8. Vale a lei do cancelamento para a multiplicação definida em Z7. E para a multiplicação definida em Z8 ?

Passo 1

O enunciado pede para construirmos as tábuas de adição e de multiplicação nos anéis Z7 e Z8, e em seguida verificar se vale a lei do cancelamento na multiplicação em cada caso. Vamos usar aritmética módulo 7 e módulo 8.

Passo 2

Montamos a tábua de adição em Z7. As entradas são (a+b)bmod7:
c|ccccccc + & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 0 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 0 & 1 3 & 3 & 4 & 5 & 6 & 0 & 1 & 2 4 & 4 & 5 & 6 & 0 & 1 & 2 & 3 5 & 5 & 6 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 6 & 6 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5

Passo 3

Montamos a tábua de multiplicação em Z7. As entradas são (acdot b)bmod7:
c|ccccccc cdot & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 2 & 0 & 2 & 4 & 6 & 1 & 3 & 5 3 & 0 & 3 & 6 & 2 & 5 & 1 & 4 4 & 0 & 4 & 1 & 5 & 2 & 6 & 3 5 & 0 & 5 & 3 & 1 & 6 & 4 & 2 6 & 0 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1

Passo 4

Em Z7 todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo (por exemplo, 3^-1=5 pois 3cdot5equiv1pmod7). Isso faz de Z7 um corpo, logo a lei do cancelamento vale: se acdot bequiv acdot cpmod7 e anotequiv0pmod7, então bequiv cpmod7.

Passo 5

Montamos a tábua de adição em Z8. As entradas são (a+b)bmod8:
c|cccccccc + & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 0 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 0 & 1 3 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 0 & 1 & 2 4 & 4 & 5 & 6 & 7 & 0 & 1 & 2 & 3 5 & 5 & 6 & 7 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 6 & 6 & 7 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 7 & 7 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6

Passo 6

Montamos a tábua de multiplicação em Z8. As entradas são (acdot b)bmod8:
c|cccccccc cdot & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 2 & 0 & 2 & 4 & 6 & 0 & 2 & 4 & 6 3 & 0 & 3 & 6 & 1 & 4 & 7 & 2 & 5 4 & 0 & 4 & 0 & 4 & 0 & 4 & 0 & 4 5 & 0 & 5 & 2 & 7 & 4 & 1 & 6 & 3 6 & 0 & 6 & 4 & 2 & 0 & 6 & 4 & 2 7 & 0 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1

Passo 7

Em Z8 existem divisores de zero (por exemplo, 2cdot4equiv0pmod8 com 2notequiv0 e 4notequiv0). Assim não há inverso para todos os não nulos, e a lei do cancelamento falha. Um contraexemplo:
2cdot3equiv6pmod8 e 2cdot7equiv14equiv6pmod8,
porém 3notequiv7pmod8.

Resposta

Vale a lei do cancelamento para a multiplicação em Z7.
Não vale a lei do cancelamento para a multiplicação em Z8.

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