Mostre que Z7=[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6].

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto quociente
Z7 = Z/7Z
é formado exatamente pelas classes de equivalência
[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6].
O conteúdo principal é o algoritmo da divisão e a definição de classe de equivalência módulo 7.

Passo 2

Para provar que toda classe em Z7 coincide com alguma de [0],dots,[6], aplicamos o algoritmo da divisão a um inteiro genérico a.
Pelo algoritmo da divisão, existem únicos q,rinZ tais que
a = 7q + r e 0 <= r <= 6
Isso mostra que a equiv r pmod7, ou seja,
[a] = [r] com rin0,1,2,3,4,5,6
Logo, toda classe em Z7 coincide com alguma das sete listadas.

Passo 3

Precisamos agora assegurar que as classes [0],dots,[6] são todas distintas entre si.
Se [i]=[j] com 0<= i<j<=6, então iequiv jpmod7 e 7mid(j-i).
Mas 0<j-i<=6, o que impede 7 de dividir j-i não nulo.
Logo só pode ocorrer i=j.

Passo 4

Concluímos que:
  1. Cada classe de Z7 é igual a uma das [0],dots,[6].
  2. Essas sete classes são todas distintas.
Portanto não há mais nem menos classes em Z7 do que as indicadas.

Resposta

Z7 = [0],[1],[2],[3],[4],[5],[6]

Exercícios relacionados