Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto quociente
é formado exatamente pelas classes de equivalência
.
O conteúdo principal é o algoritmo da divisão e a definição de classe de equivalência módulo 7.
é formado exatamente pelas classes de equivalência
O conteúdo principal é o algoritmo da divisão e a definição de classe de equivalência módulo 7.
Passo 2
Para provar que toda classe em
coincide com alguma de
, aplicamos o algoritmo da divisão a um inteiro genérico
.
Pelo algoritmo da divisão, existem únicos tais que
Pelo algoritmo da divisão, existem únicos
Isso mostra que
, ou seja,
Logo, toda classe em
coincide com alguma das sete listadas.
Passo 3
Precisamos agora assegurar que as classes
são todas distintas entre si.
Se com
, então
e
.
Mas , o que impede
de dividir
não nulo.
Logo só pode ocorrer .
Se
Mas
Logo só pode ocorrer
Passo 4
Concluímos que:
- Cada classe de
é igual a uma das . - Essas sete classes são todas distintas.
Portanto não há mais nem menos classes em
do que as indicadas.