Um número real chama-se algébrico quando é raiz de um polinômio com coeficientes inteiros e transcendente caso contrário. Prove que:
a) O conjunto dos números algébricos é enumerável.
b) Existem números transcendentes.
a) O conjunto dos números algébricos é enumerável.
b) Existem números transcendentes.
Passo 1
O enunciado define um número real como algébrico se for raiz de algum polinômio não nulo com coeficientes inteiros e como transcendente caso contrário. Vamos usar conceitos de teoria dos conjuntos: saber que união contável de conjuntos enumeráveis é enumerável e que todo polinômio de grau
tem no máximo
raízes. Em seguida usaremos o teorema de Cantor de que
é não enumerável para concluir que existem transcendentes.
Passo 2
Mostramos que o conjunto
de todos os polinômios não nulos com coeficientes em
é enumerável. Um polinômio genérico é
com
,
e
. Para cada
fixo, o conjunto
é enumerável pois
é produto finito de conjuntos enumeráveis. Como
que é união contável de conjuntos enumeráveis, concluímos que
é enumerável.
Passo 3
Cada polinômio de grau
tem no máximo
raízes no corpo dos complexos, e portanto no corpo dos reais. Sendo assim, associar a cada polinômio o seu conjunto finito de raízes produz uma união contável de conjuntos finitos. Logo, o conjunto de todas as raízes de todos os polinômios em
— isto é, o conjunto dos números algébricos — é enumerável.
Passo 4
Pelo teorema de Cantor sabemos que
é não enumerável. Como o conjunto dos algébricos é enumerável, seu complemento em
, que é exatamente o conjunto dos números transcendentais, não pode ser vazio; aliás, é não enumerável. Portanto existem números transcendentais.
Resposta
a) O conjunto dos números algébricos é enumerável.
b) Como é não enumerável, existem números transcendentes.
b) Como