Um número real chama-se algébrico quando é raiz de um polinômio com coeficientes inteiros e transcendente caso contrário. Prove que:
a) O conjunto dos números algébricos é enumerável.
b) Existem números transcendentes.

Passo 1

O enunciado define um número real como algébrico se for raiz de algum polinômio não nulo com coeficientes inteiros e como transcendente caso contrário. Vamos usar conceitos de teoria dos conjuntos: saber que união contável de conjuntos enumeráveis é enumerável e que todo polinômio de grau n tem no máximo n raízes. Em seguida usaremos o teorema de Cantor de que R é não enumerável para concluir que existem transcendentes.

Passo 2

Mostramos que o conjunto P de todos os polinômios não nulos com coeficientes em Z é enumerável. Um polinômio genérico é
an x^n + an-1x^n-1 + cdots + a0,
com ninN, aiinZ e anneq0. Para cada n fixo, o conjunto (an,dots,a0)inZ^n+1mid anneq0 é enumerável pois Z^n+1 é produto finito de conjuntos enumeráveis. Como
P ;=;cupn=0^infty,polinômios de grau n, ô
que é união contável de conjuntos enumeráveis, concluímos que P é enumerável.

Passo 3

Cada polinômio de grau n tem no máximo n raízes no corpo dos complexos, e portanto no corpo dos reais. Sendo assim, associar a cada polinômio o seu conjunto finito de raízes produz uma união contável de conjuntos finitos. Logo, o conjunto de todas as raízes de todos os polinômios em P — isto é, o conjunto dos números algébricos — é enumerável.

Passo 4

Pelo teorema de Cantor sabemos que R é não enumerável. Como o conjunto dos algébricos é enumerável, seu complemento em R, que é exatamente o conjunto dos números transcendentais, não pode ser vazio; aliás, é não enumerável. Portanto existem números transcendentais.

Resposta

a) O conjunto dos números algébricos é enumerável.
b) Como R é não enumerável, existem números transcendentes.

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