Construa a tangente de um círculo dado em um ponto dado.
Passo 1
O enunciado dá um círculo e um ponto sobre ele e pede que você construa a tangente nesse ponto.
Informações dadas (que você tem à vista no papel):
Informações dadas (que você tem à vista no papel):
- Um círculo com centro
(o centro faz parte da representação do círculo dado). - Um ponto
que pertence ao contorno desse círculo.
O que se pede: construir com régua e compasso a reta tangente ao círculo no ponto.
Passo 2
Ideia teórica básica (o que você precisa ter na cabeça antes de mexer no compasso):
- Propriedade fundamental: a reta tangente a um círculo no ponto de tangência é perpendicular ao raio que liga o centro do círculo ao ponto de tangência. Em símbolos: se uma reta
é tangente ao círculo de centro em , então .
Explicação intuitiva dessa propriedade (curta e prática para a prova): a tangente toca o círculo somente em; a distância do centro até qualquer ponto da reta é o raio do círculo, e essa distância mínima é exatamente . A distância mínima de um ponto a uma reta é medida ao longo da perpendicular, logo a perpendicular a que passa por vai ao ponto mais próximo da reta — que é . Portanto o raio é perpendicular à tangente. (Na prática de construção: basta construir a perpendicular a passando por .)
Passo 3
Plano de construção resumido (o que vamos fazer na prática):
- Traçar o segmento
(o raio até ). - Construir a reta perpendicular a
que passe por . - Essa reta perpendicular é a tangente desejada.
Agora vou mostrar passo a passo como construir essa perpendicular usando só régua e compasso (método clássico e confiável).
Passo 4
Construção passo a passo (faça exatamente na ordem, com calma):
- Com a régua ligue o centro
ao ponto . Você obtém o segmento . - Escolha no compasso um raio qualquer
(qualquer tamanho que caiba no desenho). Com centro em e raio faça um arco que corte a reta em dois pontos distintos; chame esses pontos de e . Observação importante: como o arco é centrado em e a reta passa por , esse arco corta a reta em dois pontos simétricos e é o ponto médio de . (Desenhe um círculo pequeno centrado em se preferir; os dois cortes com serão e .) - Agora queremos a bissetriz perpendicular de
. Para isso, com o compasso coloque a ponta em e abra-o com raio maior que . Desenhe um arco. Sem mudar a abertura, coloque a ponta em e desenhe outro arco que intersecte o arco anterior em dois pontos. Chame as interseções desses dois arcos de e . - Use a régua para ligar
a . A reta é a perpendicular bissetriz de . Como é o ponto médio de , a reta passa por e é perpendicular a . Mas está na mesma reta de , logo é perpendicular a passando por . - A reta
é, portanto, a tangente do círculo no ponto . Se quiser, estenda com a régua para visualizar melhor o ponto de contato com o círculo.
Passo 5
Justificativa de por que o que você construiu é realmente a tangente (para você poder explicar na prova):
- Pelo passo 2 sabemos que a tangente é a reta perpendicular ao raio
em . - No passo 4 construímos a perpendicular a
passando por (porque construímos a perpendicular bissetriz de , e é o ponto médio de ). Logo a reta é perpendicular a e passa por . - Portanto
satisfaz a propriedade característica da tangente: é perpendicular ao raio no ponto de contato. Assim toca o círculo apenas em (não corta o círculo). Conclusão: é a tangente desejada.
Passo 6
Dicas práticas e variações que podem cair na prova (bem úteis):
- Escolha
de modo que o círculo centrado em corte claramente a reta em dois pontos bem separados — isso evita erro geométrico ao traçar os arcos. - Se, por acaso, o enunciado lhe desse apenas o contorno do círculo sem o centro
explícito: primeiro você precisa localizar . Faça isso marcando dois pares de pontos quaisquer no contorno, construindo as bissetrizes perpendiculares de dois desses respectivos segmentos (ou seja, pegue dois cordas diferentes, trace suas mediatrizes); a interseção das mediatrizes é o centro . Depois de achar , siga os passos anteriores. (Se quiser, peça outro exercício para eu detalhar essa localização do centro.) - Na prova, desenhe com cuidado e use a borracha só no que for rascunho — deixe a reta final bem marcada para o corretor ver que você entendeu a construção.
Resposta
A reta
construída como perpendicular a
em
(obtida como mediatriz de
, com
interseções do arco centrado em
com
) é a tangente do círculo em
.