Construa a tangente de um círculo dado em um ponto dado.

Passo 1

O enunciado dá um círculo e um ponto sobre ele e pede que você construa a tangente nesse ponto.
Informações dadas (que você tem à vista no papel):
  • Um círculo com centro O (o centro faz parte da representação do círculo dado).
  • Um ponto P que pertence ao contorno desse círculo.
    O que se pede: construir com régua e compasso a reta tangente ao círculo no ponto P.

Passo 2

Ideia teórica básica (o que você precisa ter na cabeça antes de mexer no compasso):
  • Propriedade fundamental: a reta tangente a um círculo no ponto de tangência é perpendicular ao raio que liga o centro do círculo ao ponto de tangência. Em símbolos: se uma reta t é tangente ao círculo de centro O em P, então t \perp OP.
    Explicação intuitiva dessa propriedade (curta e prática para a prova): a tangente toca o círculo somente em P; a distância do centro O até qualquer ponto da reta t é \ge o raio do círculo, e essa distância mínima é exatamente |OP|. A distância mínima de um ponto a uma reta é medida ao longo da perpendicular, logo a perpendicular a t que passa por O vai ao ponto mais próximo da reta — que é P. Portanto o raio OP é perpendicular à tangente. (Na prática de construção: basta construir a perpendicular a OP passando por P.)

Passo 3

Plano de construção resumido (o que vamos fazer na prática):
  1. Traçar o segmento OP (o raio até P).
  2. Construir a reta perpendicular a OP que passe por P.
  3. Essa reta perpendicular é a tangente desejada.
Agora vou mostrar passo a passo como construir essa perpendicular usando só régua e compasso (método clássico e confiável).

Passo 4

Construção passo a passo (faça exatamente na ordem, com calma):
  1. Com a régua ligue o centro O ao ponto P. Você obtém o segmento \,OP.
  2. Escolha no compasso um raio qualquer \,s>0 (qualquer tamanho que caiba no desenho). Com centro em P e raio \,s faça um arco que corte a reta OP em dois pontos distintos; chame esses pontos de A e B. Observação importante: como o arco é centrado em P e a reta passa por P, esse arco corta a reta em dois pontos simétricos e P é o ponto médio de AB. (Desenhe um círculo pequeno centrado em P se preferir; os dois cortes com OP serão A e B.)
  3. Agora queremos a bissetriz perpendicular de AB. Para isso, com o compasso coloque a ponta em A e abra-o com raio maior que \tfrac{1}{2}AB. Desenhe um arco. Sem mudar a abertura, coloque a ponta em B e desenhe outro arco que intersecte o arco anterior em dois pontos. Chame as interseções desses dois arcos de C e D.
  4. Use a régua para ligar C a D. A reta CD é a perpendicular bissetriz de AB. Como P é o ponto médio de AB, a reta CD passa por P e é perpendicular a AB. Mas AB está na mesma reta de OP, logo CD é perpendicular a OP passando por P.
  5. A reta CD é, portanto, a tangente do círculo no ponto P. Se quiser, estenda CD com a régua para visualizar melhor o ponto de contato com o círculo.

Passo 5

Justificativa de por que o que você construiu é realmente a tangente (para você poder explicar na prova):
  • Pelo passo 2 sabemos que a tangente é a reta perpendicular ao raio OP em P.
  • No passo 4 construímos a perpendicular a OP passando por P (porque construímos a perpendicular bissetriz de AB, e P é o ponto médio de AB). Logo a reta CD é perpendicular a OP e passa por P.
  • Portanto CD satisfaz a propriedade característica da tangente: é perpendicular ao raio no ponto de contato. Assim CD toca o círculo apenas em P (não corta o círculo). Conclusão: CD é a tangente desejada.

Passo 6

Dicas práticas e variações que podem cair na prova (bem úteis):
  • Escolha \,s de modo que o círculo centrado em P corte claramente a reta OP em dois pontos bem separados — isso evita erro geométrico ao traçar os arcos.
  • Se, por acaso, o enunciado lhe desse apenas o contorno do círculo sem o centro O explícito: primeiro você precisa localizar O. Faça isso marcando dois pares de pontos quaisquer no contorno, construindo as bissetrizes perpendiculares de dois desses respectivos segmentos (ou seja, pegue dois cordas diferentes, trace suas mediatrizes); a interseção das mediatrizes é o centro O. Depois de achar O, siga os passos anteriores. (Se quiser, peça outro exercício para eu detalhar essa localização do centro.)
  • Na prova, desenhe com cuidado e use a borracha só no que for rascunho — deixe a reta final bem marcada para o corretor ver que você entendeu a construção.

Resposta

A reta CD construída como perpendicular a OP em P (obtida como mediatriz de AB, com A,B interseções do arco centrado em P com OP) é a tangente do círculo em P.

Exercícios relacionados