Construa uma transformação afim A: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} bijetora que leve o plano \Pi_{1}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; 2 x+y-z+1=0\right\} sobre o plano \Pi_{2}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; 3 x-y=0\right\}.

Passo 1

O problema pede uma transformação afim
A\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,\quad A(p)=M\,p + b
bijetora que envia o plano
\Pi_{1}=\{(x,y,z)\mid 2x + y - z + 1 = 0\}
sobre o plano
\Pi_{2}=\{(x,y,z)\mid 3x - y = 0\}.
Para isso precisamos escolher M\in GL(3) e b\in\mathbb{R}^3 tais que, sempre que \;(x,y,z)\in\Pi_1\implies A(x,y,z)\in\Pi_2.

Passo 2

Seja
n_1 = (2,1,-1),\quad c_1 = -1
o vetor normal e o termo independente de \Pi_1, pois \Pi_1\colon n_1\cdot p +1=0.
E seja
r = (3,-1,0)
o vetor normal de \Pi_2, pois \Pi_2\colon r\cdot p = 0.
Queremos que, para todo p com n_1\cdot p +1=0, tenha
r\cdot\bigl(Mp + b\bigr) = 0.
Isto equivale a
rM\,p + r\,b = 0
sempre que n_1\cdot p = -1.

Passo 3

Para que rM\,p dependa de p apenas por n_1\cdot p, impomos
rM = \lambda\,n_1
para algum escalar \lambda. Então
rM\,p = \lambda\,(n_1\cdot p) = \lambda\,(-1) = -\lambda.
Para cancelar esse valor é preciso ter
r\,b = +\lambda,
de modo que rM\,p + r\,b = -\lambda + \lambda = 0 sempre que p\in\Pi_1.

Passo 4

Escolhemos \lambda = 1. Então queremos
rM = n_1,\quad r\,b = 1.
Uma escolha simples de M e b é:
M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 2 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad b = \begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix}.
De fato,
rM = (3,-1,0)\begin{pmatrix}1&1&0\\\ 1&2&1\\\ 0&0&1\end{pmatrix} = (3\cdot1-1\cdot1,\;3\cdot1-1\cdot2,\;3\cdot0-1\cdot1) = (2,1,-1)=n_1,
e
r\,b = (3,-1,0)\cdot(0,-1,0)=3\cdot0 -1\cdot(-1)+0=1.
O determinante de M é 1, logo M é invertível e A é bijetora.

Passo 5

Escrevendo A(x,y,z)=M\,(x,y,z)^T + b, obtemos, em coordenadas,
A(x,y,z) = \bigl(x+y,\;x+2y+z-1,\;z\bigr).
Se (x,y,z)\in\Pi_1, então 2x+y-z+1=0 e ao calcular
3\,(x+y) \;-\;\bigl(x+2y+z-1\bigr) =3x+3y -x -2y -z +1 = 2x+y-z+1 =0,
vemos que A(x,y,z)\in\Pi_2. Como M é invertível, A é bijetora e mapeia \Pi_1 exatamente em \Pi_2.

Resposta

A transformação desejada é
A(x,y,z) = \bigl(x+y,\;x+2y+z-1,\;z\bigr),
que é afim, bijetora e satisfaz A(\Pi_1)=\Pi_2.

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