Construa uma transformação afim A: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} bijetora que leve o plano \Pi_{1}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; 2 x+y-z+1=0\right\} sobre o plano \Pi_{2}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; 3 x-y=0\right\}.
Passo 1
O problema pede uma transformação afim
A\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,\quad A(p)=M\,p + b
bijetora que envia o plano
\Pi_{1}=\{(x,y,z)\mid 2x + y - z + 1 = 0\}
sobre o plano
\Pi_{2}=\{(x,y,z)\mid 3x - y = 0\}.
Para isso precisamos escolher M\in GL(3) e b\in\mathbb{R}^3 tais que, sempre que \;(x,y,z)\in\Pi_1\implies A(x,y,z)\in\Pi_2.
Passo 2
Seja
n_1 = (2,1,-1),\quad c_1 = -1
o vetor normal e o termo independente de \Pi_1, pois \Pi_1\colon n_1\cdot p +1=0.
E seja
r = (3,-1,0)
o vetor normal de \Pi_2, pois \Pi_2\colon r\cdot p = 0.
Queremos que, para todo p com n_1\cdot p +1=0, tenha
r\cdot\bigl(Mp + b\bigr) = 0.
Isto equivale a
rM\,p + r\,b = 0
sempre que n_1\cdot p = -1.
Passo 3
Para que rM\,p dependa de p apenas por n_1\cdot p, impomos