Questão 5: O conjunto A=\{(1,0,2),(0,1,1)\} é uma base de um subespaço vetorial do R^{3}.
a) Obtenha uma base ortogonal B a partir de A .
b) Encontre a projeção ortogonal do vetor (1,1,-1) no subespaço vetorial B .

Passo 1

O enunciado dá o conjunto \displaystyle A=\{(1,0,2),(0,1,1)\}
que forma base de um subespaço W\subset\mathbb{R}^3.
a) Queremos obter uma base ortogonal B de W usando o processo de Gram–Schmidt.
b) Em seguida, projetar ortogonalmente o vetor \displaystyle x=(1,1,-1) em W.

Passo 2

Aplicamos Gram–Schmidt a \displaystyle v_1=(1,0,2) e \displaystyle v_2=(0,1,1).
Para isso, usamos a projeção
\mathrm{proj}_{u}(v)=\frac{v\cdot u}{u\cdot u}\,u.

Passo 3

Primeiro definimos
u_1=v_1=(1,0,2), \quad u_1\cdot u_1=1^2+0^2+2^2=5.
Depois
v_2\cdot u_1=0\cdot1+1\cdot0+1\cdot2=2,
\mathrm{proj}_{u_1}(v_2) =\frac{2}{5}\,u_1 =\Bigl(\tfrac{2}{5},0,\tfrac{4}{5}\Bigr),
u_2=v_2-\mathrm{proj}_{u_1}(v_2) =\Bigl(-\tfrac{2}{5},1,\tfrac{1}{5}\Bigr).
Como base podemos usar u_1 e u_2. Para evitar frações, definimos
b_1=u_1=(1,0,2), \quad b_2=5\,u_2=(-2,5,1).
Logo uma base ortogonal é
B=\{\,b_1,b_2\} \quad\text{com}\quad b_1=(1,0,2),\;b_2=(-2,5,1).

Passo 4

Para projetar \displaystyle x=(1,1,-1) em W, usamos
\mathrm{proj}_{W}(x) =\sum_{i=1}^{2}\frac{x\cdot b_i}{b_i\cdot b_i}\,b_i.
Calculamos
x\cdot b_1=1\cdot1+1\cdot0+(-1)\cdot2=-1, \quad b_1\cdot b_1=5,
x\cdot b_2=1\cdot(-2)+1\cdot5+(-1)\cdot1=2, \quad b_2\cdot b_2=(-2)^2+5^2+1^2=30.
Portanto
\frac{x\cdot b_1}{b_1\cdot b_1}b_1 =-\tfrac{1}{5}(1,0,2) =\Bigl(-\tfrac{1}{5},0,-\tfrac{2}{5}\Bigr),
\frac{x\cdot b_2}{b_2\cdot b_2}b_2 =\tfrac{2}{30}(-2,5,1) =\Bigl(-\tfrac{2}{15},\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{15}\Bigr).

Passo 5

Somando as duas componentes da projeção:
\mathrm{proj}_{W}(x) =\Bigl(-\tfrac{1}{5}-\tfrac{2}{15},\;0+\tfrac{1}{3},\;-\tfrac{2}{5}+\tfrac{1}{15}\Bigr) =\Bigl(-\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3},-\tfrac{1}{3}\Bigr).

Resposta

a) Uma base ortogonal é
B=\{(1,0,2),\,(-2,5,1)\}.
b) A projeção ortogonal de (1,1,-1) em W é
\bigl(-\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3},-\tfrac{1}{3}\bigr).

Exercícios relacionados