1. Interseção entre cone e plano

A interseção entre um cone e um plano pode resultar em diferentes figuras geométricas, conhecidas como cônicas. Determine todas essas cônicas e os casos degenerados, e justifique com conceitos de geometria analítica.

Passo 1

O enunciado pede para determinar todas as cônicas que aparecem como interseção entre um cone circular duplo reto e um plano, além dos casos degenerados. O conteúdo é geometria analítica de seções cônicas, e vamos usar a forma analítica do cone e do plano, eliminar uma variável para obter uma equação quadrática em x,y e depois classificar pelo discriminante.

Passo 2

Escolhemos como equação do cone circular duplo reto com eixo z e vértice na origem:
z^2 = x^2 + y^2.
E como equação geral de um plano não vertical, escrevemos
z = p\,x + q\,y + r,
onde p,q,r são constantes reais.

Passo 3

Para achar a interseção, substituímos a expressão de z do plano na equação do cone:
\bigl(p\,x + q\,y + r\bigr)^2 = x^2 + y^2.
Isso dá a cônica no plano xy:
(p^2 - 1)\,x^2 + 2\,p\,q\,x\,y + (q^2 - 1)\,y^2 + 2\,p\,r\,x + 2\,q\,r\,y + r^2 = 0.

Passo 4

Para classificar essa cônica, calculemos o discriminante
\Delta = B^2 - 4\,A\,C,
onde
A = p^2 - 1,\quad B = 2\,p\,q,\quad C = q^2 - 1.
Temos
\Delta = (2\,p\,q)^2 - 4\,(p^2 - 1)\,(q^2 - 1) =4\bigl(p^2+q^2-1\bigr).
Portanto:
  1. Se \Delta<0 (isto é, p^2+q^2<1), é uma elipse.
  2. Se \Delta=0 (isto é, p^2+q^2=1), é uma parábola.
  3. Se \Delta>0 (isto é, p^2+q^2>1), é uma hipérbole.

Passo 5

Dentro do caso de elipse, há um caso especial: se p=q=0, o plano é z=r paralelo ao plano xy, e a interseção é
r^2 = x^2 + y^2,
ou seja, um círculo de raio \lvert r\rvert.

Passo 6

Agora os casos degenerados ocorrem quando o plano passa pelo vértice do cone, isto é, r=0. A equação fica então
(p^2 - 1)\,x^2 + 2\,p\,q\,x\,y + (q^2 - 1)\,y^2 = 0,
que é homogênea em x,y. Classificamos pelo sinal de p^2+q^2-1:
  • Se p^2+q^2<1, a única solução real é x=y=0, ou seja, a interseção é o ponto vértice.
  • Se p^2+q^2=1, obtém-se uma reta dupla (duas retas coincidentes), ou seja, cônica degenerada dupla.
  • Se p^2+q^2>1, o polinômio quadrático se fatora em duas retas distintas que se cruzam no vértice, ou seja, par de retas.

Resposta

As interseções não degeneradas são:
elipse (quando p^2+q^2<1), incluindo o círculo p=q=0;
parábola (quando p^2+q^2=1);
hipérbole (quando p^2+q^2>1).
Os casos degenerados quando o plano passa pelo vértice r=0 são:
ponto (se p^2+q^2<1), reta dupla (se p^2+q^2=1) e par de retas (se p^2+q^2>1).

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