1. Interseção entre cone e plano
A interseção entre um cone e um plano pode resultar em diferentes figuras geométricas, conhecidas como cônicas. Determine todas essas cônicas e os casos degenerados, e justifique com conceitos de geometria analítica.
Passo 1
O enunciado pede para determinar todas as cônicas que aparecem como interseção entre um cone circular duplo reto e um plano, além dos casos degenerados. O conteúdo é geometria analítica de seções cônicas, e vamos usar a forma analítica do cone e do plano, eliminar uma variável para obter uma equação quadrática em
e depois classificar pelo discriminante.
Passo 2
Escolhemos como equação do cone circular duplo reto com eixo
e vértice na origem:
E como equação geral de um plano não vertical, escrevemos
onde
são constantes reais.
Passo 3
Para achar a interseção, substituímos a expressão de
do plano na equação do cone:
Isso dá a cônica no plano
:
Passo 4
Para classificar essa cônica, calculemos o discriminante
onde
Temos
Portanto:
- Se
(isto é, ), é uma elipse. - Se
(isto é, ), é uma parábola. - Se
(isto é, ), é uma hipérbole.
Passo 5
Dentro do caso de elipse, há um caso especial: se
, o plano é
paralelo ao plano
, e a interseção é
ou seja, um círculo de raio
.
Passo 6
Agora os casos degenerados ocorrem quando o plano passa pelo vértice do cone, isto é,
. A equação fica então
que é homogênea em
. Classificamos pelo sinal de
:
- Se
, a única solução real é , ou seja, a interseção é o ponto vértice. - Se
, obtém-se uma reta dupla (duas retas coincidentes), ou seja, cônica degenerada dupla. - Se
, o polinômio quadrático se fatora em duas retas distintas que se cruzam no vértice, ou seja, par de retas.
Resposta
As interseções não degeneradas são:
elipse (quando ), incluindo o círculo
;
parábola (quando );
hipérbole (quando ).
elipse (quando
parábola (quando
hipérbole (quando
Os casos degenerados quando o plano passa pelo vértice
são:
ponto (se ), reta dupla (se
) e par de retas (se
).
ponto (se