Diga se a quádrica de equação
2 x^{2}+2 y^{2}+2 z^{2}+4 y z-\sqrt{2}(y-z)=0,
é ou não uma superfície de revolução.

Passo 1

O enunciado dá a quádricas de equação
2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}+4yz-\sqrt{2}\,(y - z)=0
e pede para determinar se ela é uma superfície de revolução.
Conteúdo: classificação de quádricas por forma quadrática e mudança para coordenadas principais. Vamos escrever a parte quadrática em forma matricial, diagonalizar e ver se há invariância rotacional em torno de algum eixo.

Passo 2

Escrevemos a forma como
\mathbf{x}^{T}A\,\mathbf{x} \;+\;\mathbf{b}^{T}\mathbf{x}=0,
onde
\mathbf{x}=(x,y,z)^{T},\quad A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & 2\\\\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix},\quad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}0\\\ -\sqrt{2}\\sqrt{2}\end{pmatrix}.
A parte quadrática é dada por 2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}+4yz.

Passo 3

Para diagonalizar a submatriz em (y,z), note que \begin{pmatrix}2&2\\\ 2&2\end{pmatrix} tem autovalores 4 e 0, com autovetores proporcionais a
v_{4}=(1,1),\quad v_{0}=(1,-1).
Definimos então as novas variáveis
s=\frac{y+z}{\sqrt{2}},\qquad t=\frac{y-z}{\sqrt{2}}.
Em termos de (x,s,t) a parte quadrática fica
2x^{2}+4s^{2}+0\cdot t^{2},
e a parte linear -\sqrt{2}(y-z) transforma-se em -2t.

Passo 4

Substituindo na equação original obtemos
2x^{2}+4s^{2}-2t=0.
Dividindo por 2,
x^{2}+2s^{2}=t.
Esse é o formato de um paraboloide cujo eixo principal é a direção t (que, no espaço original, é a reta na direção (0,1,-1)).

Passo 5

Para ser superfície de revolução, as seções transversais perpendiculares ao eixo t devem ser círculos, ou seja, os coeficientes de x^{2} e de s^{2} teriam que ser iguais. Aqui temos coeficiente 1 em x^{2} e coeficiente 2 em s^{2}, o que produz elipses, não círculos.

Resposta

Não.

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