(a) Tranformações afins levam círculos em círculos? JUSTIFIQUE SUA RESPOSTA
(b) Para todo \mu \in \mathbb{R}, determine a transformação afim A: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} que corresponde a reflexão com relação à reta r_{\mu}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; y=\mu x\right\}.
(c) (EXTRA) Refaça o Exercício 1 utilizando uma das reflexões r_{\mu} acima.
O enunciado pergunta:
(a) Se toda transformação afim leva circunferências em outras circunferências.
(b) Para cada \mu\in\mathbb{R}, encontrar a transformação afim A\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 que reflita em relação à reta
r_{\mu}=\{(x,y)\mid y=\mu x\}.
(c) (Extra) Refazer um Exercício 1 usando uma dessas reflexões, mas esse exercício não foi fornecido.
Conteúdos necessários: definição de transformação afim, propriedades de aplicação linear, reflexão ortogonal em linha que passa pela origem e projeção em direção unitária.
Passo 2
Uma transformação afim geral é da forma
x\mapsto Lx + b,
com L matriz invertível e b\in\mathbb{R}^2. Uma circunferência centrada em c e raio r é o conjunto
O conjunto \|L^{-1}(y-(b+Lc))\|=r é, em geral, uma elipse, não uma circunferência, a menos que L seja igual a uma composição de rotação e homotetia uniforme.
Passo 3
Conclusão de (a):
Em geral, não. Transformações afins levam circunferências em elipses, salvo no caso em que a parte linear L seja uma rotação composta com homotetia igual em todas as direções (caso em que mapeia circunferências em circunferências).
Passo 4
Para (b), a reta r_{\mu} passa pela origem e tem vetor direção (1,\mu). Seja
u = \frac{1}{\sqrt{1+\mu^2}}\begin{pmatrix}1\\mu\end{pmatrix}
o vetor unitário nessa direção. A reflexão ortogonal em torno de r_{\mu} é a aplicação linear
Para (c), o Exercício 1 não foi fornecido no enunciado, portanto não há como refazê-lo usando as reflexões r_{\mu}.
Resposta
(a) Não. Em geral uma transformação afim leva circunferências em elipses, salvo quando sua parte linear é rotação seguida de homotetia uniforme.
(b) Para cada \mu, a reflexão em relação a r_{\mu}\colon y=\mu x é a aplicação linear