(a) Tranformações afins levam círculos em círculos? JUSTIFIQUE SUA RESPOSTA
(b) Para todo \mu \in \mathbb{R}, determine a transformação afim A: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} que corresponde a reflexão com relação à reta r_{\mu}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; y=\mu x\right\}.
(c) (EXTRA) Refaça o Exercício 1 utilizando uma das reflexões r_{\mu} acima.
\text { DICA: } \mu^{4}+3 \mu^{3}-6 \mu^{2}-3 \mu+1=(\mu+2-\sqrt{5})(\mu+2+\sqrt{5})\left(\mu-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\left(\mu-\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pergunta:
(a) Se toda transformação afim leva circunferências em outras circunferências.
(b) Para cada \mu\in\mathbb{R}, encontrar a transformação afim A\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 que reflita em relação à reta
r_{\mu}=\{(x,y)\mid y=\mu x\}.
(c) (Extra) Refazer um Exercício 1 usando uma dessas reflexões, mas esse exercício não foi fornecido.
Conteúdos necessários: definição de transformação afim, propriedades de aplicação linear, reflexão ortogonal em linha que passa pela origem e projeção em direção unitária.

Passo 2

Uma transformação afim geral é da forma
x\mapsto Lx + b,
com L matriz invertível e b\in\mathbb{R}^2. Uma circunferência centrada em c e raio r é o conjunto
\{\,x\mid \|x-c\|=r\}.
Aplicando a afim obtemos
\{\,Lx+b\mid \|x-c\|=r\} =\{\,y\mid \|L^{-1}(y-b)-c\|=r\}.
O conjunto \|L^{-1}(y-(b+Lc))\|=r é, em geral, uma elipse, não uma circunferência, a menos que L seja igual a uma composição de rotação e homotetia uniforme.

Passo 3

Conclusão de (a):
Em geral, não. Transformações afins levam circunferências em elipses, salvo no caso em que a parte linear L seja uma rotação composta com homotetia igual em todas as direções (caso em que mapeia circunferências em circunferências).

Passo 4

Para (b), a reta r_{\mu} passa pela origem e tem vetor direção (1,\mu). Seja
u = \frac{1}{\sqrt{1+\mu^2}}\begin{pmatrix}1\\mu\end{pmatrix}
o vetor unitário nessa direção. A reflexão ortogonal em torno de r_{\mu} é a aplicação linear
A(x)=R\,x,
onde
R = 2\,u\,u^{T}-I_{2}.
Calculando
u\,u^{T} = \frac{1}{1+\mu^2} \begin{pmatrix}1\\mu\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&\mu\end{pmatrix} =\frac{1}{1+\mu^2} \begin{pmatrix}1&\mu\\mu&\mu^2\end{pmatrix},
segue
R = \frac{2}{1+\mu^2} \begin{pmatrix}1&\mu\\mu&\mu^2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix} = \frac{1}{1+\mu^2} \begin{pmatrix} 2 - (1+\mu^2) & 2\mu\\\\ 2\mu & 2\mu^2 - (1+\mu^2) \end{pmatrix}
= \frac{1}{1+\mu^2} \begin{pmatrix} 1-\mu^2 & 2\mu\\\\ 2\mu & \mu^2-1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Conclusão de (b):
A transformação afim de reflexão em r_{\mu} é
A\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\quad A(x,y) =\frac{1}{1+\mu^2} \begin{pmatrix} 1-\mu^2 & 2\mu\\\\ 2\mu & \mu^2-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}.

Passo 6

Para (c), o Exercício 1 não foi fornecido no enunciado, portanto não há como refazê-lo usando as reflexões r_{\mu}.

Resposta

(a) Não. Em geral uma transformação afim leva circunferências em elipses, salvo quando sua parte linear é rotação seguida de homotetia uniforme.
(b) Para cada \mu, a reflexão em relação a r_{\mu}\colon y=\mu x é a aplicação linear
A(x,y) =\frac{1}{1+\mu^2} \begin{pmatrix} 1-\mu^2 & 2\mu\\\\ 2\mu & \mu^2-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}.
(c) Não é possível refazer sem o enunciado do Exercício 1.

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