Construa uma transformação linear T: R^3 R^3 cujo núcleo seja o eixo z e cuja imagem seja o plano x y.

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear T:R^3toR^3 tal que o núcleo ( ker T) seja o eixo z e a imagem ( ImT) seja o plano xy. Para isso, vamos usar a definição de núcleo como o conjunto de vetores que vão para o zero e a definição de imagem como o subespaço gerado pelas colunas da matriz de T.

Passo 2

Escolhemos a matriz de T em relação à base canônica de forma que ela anule a componente z (para garantir ker T igual ao eixo z) e mantenha as componentes x e y (para gerar o plano xy). Uma escolha óbvia é
T(x,y,z) = (x,y,0),
ou seja, em matriz:
[T] = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0

Passo 3

Verificação do núcleo: resolvendo
T(x,y,z) = (0,0,0)
temos as equações
x = 0, y = 0,
sem restrição em z. Logo
ker T = (0,0,z)mid zinR,
que é exatamente o eixo z.

Passo 4

Verificação da imagem: dado um vetor (a,b,0) no plano xy, basta tomar (x,y,z)=(a,b,0) para que
T(a,b,0)=(a,b,0)
Assim quaisquer vetores de xy
estão no alcance de T, e não há outras componentes geradas, de modo que
ImT = (x,y,0)mid x,yinR,
isto é, o plano xy.

Resposta

Uma escolha conveniente é
T(x,y,z) = (x,y,0),
cuja matriz é
1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0

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