Construa uma transformação linear cujo núcleo seja o eixo e cuja imagem seja o plano .
Passo 1
O enunciado pede uma transformação linear tal que o núcleo () seja o eixo e a imagem () seja o plano . Para isso, vamos usar a definição de núcleo como o conjunto de vetores que vão para o zero e a definição de imagem como o subespaço gerado pelas colunas da matriz de .
Passo 2
Escolhemos a matriz de em relação à base canônica de forma que ela anule a componente (para garantir igual ao eixo ) e mantenha as componentes e (para gerar o plano ). Uma escolha óbvia é
ou seja, em matriz:
Passo 3
Verificação do núcleo: resolvendo
T(x,y,z) = (0,0,0)
temos as equações
x = 0, y = 0,
sem restrição em z. Logo
ker T = (0,0,z)mid zinR,
que é exatamente o eixo z.
Passo 4
Verificação da imagem: dado um vetor (a,b,0) no plano xy, basta tomar (x,y,z)=(a,b,0) para que
T(a,b,0)=(a,b,0)
Assim quaisquer vetores de xy
estão no alcance de T, e não há outras componentes geradas, de modo que