Seja T: V V um operador linear em um espaço de dimensão finita. Mostre que T é injetivo se e somente se é sobrejetivo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em um espaço vetorial V de dimensão finita, um operador linear Tcolon Vto V é injetivo se, e somente se, é sobrejetivo. O conteúdo principal que vamos usar é o Teorema da Dimensão (ou Teorema da Imagem e Núcleo), que diz que
dim(ker T) + dim(imT) = dim(V)
Aqui ker T é o núcleo de T (subespaço de vetores enviados a zero) e imT é a imagem de T (subespaço gerado por todos os vetores T(v)).

Passo 2

Suponha que T seja injetivo. Por definição, isso significa que ker T = 0, então
dim(ker T) = 0
Pelo Teorema da Dimensão,
0 + dim(imT) = dim(V) Longrightarrow dim(imT) = dim(V)
Como imT é um subespaço de V com a mesma dimensão de V, necessariamente
imT = V,
ou seja, T é sobrejetivo.

Passo 3

Agora suponha que T seja sobrejetivo, isto é, imT = V. Logo
dim(imT) = dim(V)
Novamente pelo Teorema da Dimensão,
dim(ker T) + dim(V) = dim(V) Longrightarrow dim(ker T) = 0
Se o núcleo de T tem dimensão zero, então ker T = 0, o que significa que T é injetivo.

Resposta

Mostramos que injetividade implica sobrejetividade e vice-versa usando o Teorema da Dimensão. Portanto, em espaço vetorial de dimensão finita, um operador linear Tcolon Vto V é injetivo se, e somente se, é sobrejetivo.

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