Seja
um operador linear em um espaço de dimensão finita. Mostre que
é injetivo se e somente se é sobrejetivo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em um espaço vetorial
de dimensão finita, um operador linear
é injetivo se, e somente se, é sobrejetivo. O conteúdo principal que vamos usar é o Teorema da Dimensão (ou Teorema da Imagem e Núcleo), que diz que
Aqui
é o núcleo de
(subespaço de vetores enviados a zero) e
é a imagem de
(subespaço gerado por todos os vetores
).
Passo 2
Suponha que
seja injetivo. Por definição, isso significa que
, então
Pelo Teorema da Dimensão,
Como
é um subespaço de
com a mesma dimensão de
, necessariamente
ou seja,
é sobrejetivo.
Passo 3
Agora suponha que
seja sobrejetivo, isto é,
. Logo
Novamente pelo Teorema da Dimensão,
Se o núcleo de
tem dimensão zero, então
, o que significa que
é injetivo.
Resposta
Mostramos que injetividade implica sobrejetividade e vice-versa usando o Teorema da Dimensão. Portanto, em espaço vetorial de dimensão finita, um operador linear
é injetivo se, e somente se, é sobrejetivo.