A projeção ortogonal sobre o plano x y em R^3 é invertível? Justifique.

Passo 1

O enunciado considera a projeção ortogonal Pcolon R^3 to R^3 sobre o plano xy, definida por
P(x,y,z) = (x,y,0)
Queremos saber se P é invertível. Para isso, usamos que uma aplicação linear é invertível se, e somente se, for injetiva (ou equivalentemente seu núcleo for trivial) e sobrejetiva (ou seu determinante for não nulo na base canônica).

Passo 2

Calculamos o núcleo de P. Temos
P(x,y,z) = (0,0,0) Long<=ftrightarrow (x,y,0) = (0,0,0) Long<=ftrightarrow x=0,;y=0,
e z pode ser qualquer real. Logo
ker(P) = (0,0,z)mid zinR,
que não é apenas (0,0,0). Isso mostra que P não é injetiva.

Passo 3

Como não é injetiva, P não pode ser invertível. Em termos de matriz na base canônica,
A = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0
tem det(A)=0, confirmando que P não é invertível.

Resposta

A projeção ortogonal sobre o plano xy não é invertível, pois seu núcleo é maior que 0 (não é injetiva) e sua matriz tem determinante zero.

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