A projeção ortogonal sobre o plano em é invertível? Justifique.
Passo 1
O enunciado considera a projeção ortogonal sobre o plano , definida por
Queremos saber se é invertível. Para isso, usamos que uma aplicação linear é invertível se, e somente se, for injetiva (ou equivalentemente seu núcleo for trivial) e sobrejetiva (ou seu determinante for não nulo na base canônica).
Passo 2
Calculamos o núcleo de . Temos
e pode ser qualquer real. Logo
que não é apenas . Isso mostra que não é injetiva.
Passo 3
Como não é injetiva, não pode ser invertível. Em termos de matriz na base canônica,
tem det(A)=0, confirmando que P não é invertível.
Resposta
A projeção ortogonal sobre o plano xy não é invertível, pois seu núcleo é maior que 0 (não é injetiva) e sua matriz tem determinante zero.