Seja A uma matriz m times n. Interprete o núcleo e a imagem de T(x)=A x em termos de sistemas lineares.

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz A de tamanho mtimes n e a transformação linear
Tcolon R^n to R^m, T(x)=Ax
Precisamos interpretar o núcleo ( ker T) e a imagem ( ImT) de T em termos de sistemas lineares, recorrendo à ideia de sistemas homogêneos e não-homogêneos.

Passo 2

O núcleo de T é, por definição,
ker T = xinR^n mid T(x)=0 = xinR^n mid Ax=0
Em outras palavras, ker T é o espaço de soluções do sistema linear homogêneo
Ax = 0
Esse conjunto forma um subespaço de R^n cuja dimensão é dada pela nulidade de A.

Passo 3

A imagem de T é, por definição,
ImT = T(x) mid xinR^n = Axmid xinR^n
Isso coincide com o espaço coluna de A, isto é, o subespaço de R^m gerado pelas colunas de A. Em termos de sistemas lineares, é o conjunto de todos os vetores binR^m para os quais o sistema
Ax = b
é compatível. A dimensão de ImT é o posto (rank) de A.

Resposta

O núcleo ker T é o conjunto de soluções do sistema homogêneo Ax=0.
A imagem ImT é o espaço coluna de A, ou seja, o conjunto de todos os binR^m tais que Ax=b é compatível.

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