Seja
uma matriz
. Interprete o núcleo e a imagem de
em termos de sistemas lineares.
Passo 1
O enunciado nos dá uma matriz
de tamanho
e a transformação linear
Precisamos interpretar o núcleo (
) e a imagem (
) de
em termos de sistemas lineares, recorrendo à ideia de sistemas homogêneos e não-homogêneos.
Passo 2
O núcleo de
é, por definição,
Em outras palavras,
é o espaço de soluções do sistema linear homogêneo
Esse conjunto forma um subespaço de
cuja dimensão é dada pela nulidade de
.
Passo 3
A imagem de
é, por definição,
Isso coincide com o espaço coluna de
, isto é, o subespaço de
gerado pelas colunas de
. Em termos de sistemas lineares, é o conjunto de todos os vetores
para os quais o sistema
é compatível. A dimensão de
é o posto (rank) de
.
Resposta
O núcleo
é o conjunto de soluções do sistema homogêneo
.
A imagem é o espaço coluna de
, ou seja, o conjunto de todos os
tais que
é compatível.
A imagem