Seja
uma transformação linear bijetiva. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado afirma que existe uma transformação linear bijetiva
. Precisamos mostrar que
.
Para isso, vamos usar o Teorema da Dimensão (ou Teorema da Dimensão Núcleo-Imagem), que relaciona
,
e
.
Para isso, vamos usar o Teorema da Dimensão (ou Teorema da Dimensão Núcleo-Imagem), que relaciona
Passo 2
Como
é injetora, seu núcleo contém apenas o vetor zero, isto é,
Logo,
Passo 3
Pelo Teorema da Dimensão temos
Substituindo
, obtemos
Passo 4
Como
é sobrejetora, sua imagem coincide com todo o espaço
, ou seja,
Portanto
Passo 5
Unindo os resultados anteriores, concluímos