Seja T: V W uma transformação linear bijetiva. Mostre que dim V=dim W.

Passo 1

O enunciado afirma que existe uma transformação linear bijetiva
Tcolon Vto W. Precisamos mostrar que
dim V = dim W.
Para isso, vamos usar o Teorema da Dimensão (ou Teorema da Dimensão Núcleo-Imagem), que relaciona
dim V, dimker T e dimimT.

Passo 2

Como T é injetora, seu núcleo contém apenas o vetor zero, isto é,
ker T = 0
Logo,
dimker T = 0

Passo 3

Pelo Teorema da Dimensão temos
dim V = dimker T + dimimT
Substituindo dimker T=0, obtemos
dim V = dimimT

Passo 4

Como T é sobrejetora, sua imagem coincide com todo o espaço W, ou seja,
imT = W
Portanto
dimimT = dim W

Passo 5

Unindo os resultados anteriores, concluímos
dim V = dimimT = dim W

Resposta

dim V = dim W

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