Construa uma transformação linear cujo núcleo seja a reta gerada por e cuja imagem seja o plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma transformação linear que precisa ter duas propriedades específicas:
Núcleo: A reta gerada por . Isso significa que todo vetor nessa reta será mapeado para o vetor zero.
Imagem: O plano definido por . Ou seja, a transformação vai enviar vetores para esse plano.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de álgebra linear, como transformação linear, núcleo (kernel) e imagem (image).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é uma função que preserva as operações de adição e multiplicação por escalar. No nosso caso, transforma vetores de em .
O núcleo de , denotado por , é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor zero:
No nosso exercício, o núcleo é a reta gerada por , ou seja:
Passo 3
A imagem de , denotada por , é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando em :
Aqui, a imagem é o plano .
Segundo o Teorema do Núcleo e da Imagem (Rank-Nullity), a dimensão do núcleo mais a dimensão da imagem é igual à dimensão do espaço de partida. No nosso caso:
Como (uma reta) e (um plano), a igualdade vale.
Passo 4
Agora, para construir a matriz da transformação , vamos seguir alguns passos:
Escolher vetores para a imagem: Precisamos de três vetores que pertençam ao plano . Por exemplo:
Note que cada um deles satisfaz .
Montar a matriz com essas colunas: A matriz que representa terá essas vetores como colunas:
Verificar o núcleo: Vamos conferir se (1,1,1) está no núcleo de A :