Construa uma transformação linear T: R^3 R^3 cujo núcleo seja a reta gerada por (1,1,1) e cuja imagem seja o plano x+y+z=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma transformação linear T: R^3 R^3 que precisa ter duas propriedades específicas:
  1. Núcleo: A reta gerada por (1,1,1). Isso significa que todo vetor nessa reta será mapeado para o vetor zero.
  2. Imagem: O plano definido por x + y + z = 0. Ou seja, a transformação vai enviar vetores para esse plano.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de álgebra linear, como transformação linear, núcleo (kernel) e imagem (image).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é uma função que preserva as operações de adição e multiplicação por escalar. No nosso caso, T transforma vetores de R^3 em R^3.
O núcleo de T , denotado por Ker(T), é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor zero:
Ker(T) = v in R^3 mid T(v) = 0
No nosso exercício, o núcleo é a reta gerada por (1,1,1), ou seja:
Ker(T) = lambda (1,1,1) mid lambda in R

Passo 3

A imagem de T , denotada por Im(T), é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando T em R^3:
Im(T) = T(v) mid v in R^3
Aqui, a imagem é o plano x + y + z = 0.
Segundo o Teorema do Núcleo e da Imagem (Rank-Nullity), a dimensão do núcleo mais a dimensão da imagem é igual à dimensão do espaço de partida. No nosso caso:
dim(Ker(T)) + dim(Im(T)) = 3
Como dim(Ker(T)) = 1 (uma reta) e dim(Im(T)) = 2 (um plano), a igualdade vale.

Passo 4

Agora, para construir a matriz da transformação T , vamos seguir alguns passos:
  1. Escolher vetores para a imagem: Precisamos de três vetores que pertençam ao plano x + y + z = 0. Por exemplo:
v1 = (1, -1, 0), v2 = (0, 1, -1), v3 = (-1, 0, 1)
Note que cada um deles satisfaz x + y + z = 0.
  1. Montar a matriz com essas colunas: A matriz que representa T terá essas vetores como colunas:
A = 1 & 0 & -1 -1 & 1 & 0 0 & -1 & 1
  1. Verificar o núcleo: Vamos conferir se (1,1,1) está no núcleo de A :
A 1 1 1 = 1 cdot 1 + 0 cdot 1 + (-1) cdot 1 -1 cdot 1 + 1 cdot 1 + 0 cdot 1 0 cdot 1 + (-1) cdot 1 + 1 cdot 1 = 0 0 0
Isso confirma que (1,1,1) está no núcleo.

Resposta

A transformação linear T pode ser representada pela seguinte matriz:
T = 1 & 0 & -1 -1 & 1 & 0 0 & -1 & 1
Essa matriz tem como núcleo a reta gerada por (1,1,1) e sua imagem é o plano x + y + z = 0, conforme solicitado.

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