É possível escrever 10000 como a soma de dois cubos perfeitos positivos?

Passo 1

O que a questão pede? Descobrir se dá para escrever
10000 = a^3 + b^3
com a e b inteiros positivos.
Conteúdo: cubos perfeitos, raiz cúbica e teste de números.
O que vamos precisar:
  • Entender o que é cubo perfeito.
  • Calcular a raiz cúbica inteira máxima de 10000.
  • Listar cubos de 1 até esse valor e checar se algum par soma 10000.

Passo 2

Cubo perfeito e como testar
  • Um número n é cubo perfeito se existe um inteiro k tal que n = k^3.
  • Pra saber se x é cubo perfeito, a gente calcula raiz[3]x e vê se dá um inteiro exato.

Passo 3

Limitar a e b
Como a^3 e b^3 são positivos e somam 10000, cada um deles ≤ 10000.
A raiz cúbica de 10000 é
raiz[3]10000 approx 21,5
Logo, os únicos candidatos inteiros possíveis são a,b = 1,2,dots,21.

Passo 4

Lista de cubos de 1 a 21
1³ = 1
2³ = 8
3³ = 27
4³ = 64
5³ = 125
6³ = 216
7³ = 343
8³ = 512
9³ = 729
10³ = 1000
11³ = 1331
12³ = 1728
13³ = 2197
14³ = 2744
15³ = 3375
16³ = 4096
17³ = 4913
18³ = 5832
19³ = 6859
20³ = 8000
21³ = 9261

Passo 5

Testando as possibilidades
Para cada a de 1 a 21, calculo
r = 10000 - a^3
e vejo se r aparece na lista acima (ou seja, se r = b^3 para algum inteiro b).
Fiz um “loop mental” ou no papel:
  • a=1, r = 9999 → não é cubo perfeito.
  • a=2, r = 9992 → não é cubo perfeito.
  • a=21, r = 10000 - 9261 = 739 → não é cubo perfeito.
    Em nenhum caso r bateu com um dos valores de 1^3 a 21^3.

Resposta

Não existe par de inteiros positivos (a,b) tais que a^3 + b^3 = 10000.

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