É possível escrever 10000 como a soma de dois cubos perfeitos positivos?
Passo 1
O que a questão pede? Descobrir se dá para escrever
com
e
inteiros positivos.
Conteúdo: cubos perfeitos, raiz cúbica e teste de números.
O que vamos precisar:
Conteúdo: cubos perfeitos, raiz cúbica e teste de números.
O que vamos precisar:
- Entender o que é cubo perfeito.
- Calcular a raiz cúbica inteira máxima de 10000.
- Listar cubos de 1 até esse valor e checar se algum par soma 10000.
Passo 2
Cubo perfeito e como testar
- Um número
é cubo perfeito se existe um inteiro tal que . - Pra saber se
é cubo perfeito, a gente calcula e vê se dá um inteiro exato.
Passo 3
Limitar
e
Como e
são positivos e somam 10000, cada um deles ≤ 10000.
A raiz cúbica de 10000 é
Como
A raiz cúbica de 10000 é
Logo, os únicos candidatos inteiros possíveis são
.
Passo 4
Lista de cubos de 1 a 21
1³ = 1
2³ = 8
3³ = 27
4³ = 64
5³ = 125
6³ = 216
7³ = 343
8³ = 512
9³ = 729
10³ = 1000
11³ = 1331
12³ = 1728
13³ = 2197
14³ = 2744
15³ = 3375
16³ = 4096
17³ = 4913
18³ = 5832
19³ = 6859
20³ = 8000
21³ = 9261
1³ = 1
2³ = 8
3³ = 27
4³ = 64
5³ = 125
6³ = 216
7³ = 343
8³ = 512
9³ = 729
10³ = 1000
11³ = 1331
12³ = 1728
13³ = 2197
14³ = 2744
15³ = 3375
16³ = 4096
17³ = 4913
18³ = 5832
19³ = 6859
20³ = 8000
21³ = 9261
Passo 5
Testando as possibilidades
Para cada de 1 a 21, calculo
Para cada
e vejo se
aparece na lista acima (ou seja, se
para algum inteiro
).
Fiz um “loop mental” ou no papel:
Fiz um “loop mental” ou no papel:
-
, → não é cubo perfeito. -
, → não é cubo perfeito. - …
-
, → não é cubo perfeito.
Em nenhum casobateu com um dos valores de a .
Resposta
Não existe par de inteiros positivos
tais que
.