Dada a matriz A=[lll1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9], encontre a transformação linear associada T: R^3 R^3 (em relação à base canônica) e determine bases para ker(T) e Im(T).

Passo 1

O enunciado pede para associar à matriz
A = 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9
uma transformação linear T: R^3to R^3 na base canônica e, em seguida, determinar bases para ker(T) e Im(T).
Conteúdo: transformação linear definida por matriz, espaço núcleo (kernel) e espaço imagem (coluna).

Passo 2

Para qualquer vetor , temos

Passo 3

Para achar
Fazendo eliminação linha a linha encontramos a segunda equação menos e a terceira é combinação das duas primeiras. Logo
e inserindo em vem

Passo 4

Parametrizando por z=t, obtemos
(x,y,z)=(t,,-2t,,t)=t,(1,-2,1)
Logo ker(T) é um espaço unidimensional com base
(1,-2,1)

Passo 5

A imagem de T é o espaço gerado pelas colunas de A. Como det(A)=0, a posto de A é 2, então dimIm(T)=2. Basta escolher duas colunas independentes, por exemplo
c1=(1,4,7), c2=(2,5,8)
Essas não são múltiplas uma da outra e formam base de Im(T).

Resposta

A transformação T é
T(x,y,z)=l(x+2y+3z,;4x+5y+6z,;7x+8y+9zr)
Uma base de ker(T) é (1,-2,1) e uma base de Im(T) é (1,4,7),(2,5,8).

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