1. Construa um triângulo eqüilátero de altura \overline{A H}=6 \mathrm{~m} na escala 1:100

Passo 1

O enunciado pede a construção, em escala 1:100, de um triângulo eqüilátero cuja altura real \overline{AH} mede 6 m. Para resolver, vamos usar a relação entre altura e lado em um triângulo eqüilátero e depois converter essas medidas para o desenho em centímetros (já que na escala 1:100 cada metro vira 1 cm).

Passo 2

Em qualquer triângulo eqüilátero de lado a, a altura h satisfaz
h = \frac{\sqrt{3}}{2}\,a.
Invertendo essa relação, o lado real é
a = \frac{2\,h}{\sqrt{3}}.

Passo 3

Substituindo h = 6 m na fórmula do lado, obtemos
a = \frac{2\cdot 6}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}\\ \text{m}\approx 6{,}928\\ \text{m}.

Passo 4

Agora convertemos para a escala 1:100. Cada metro real vira 1 cm no desenho, logo
\overline{AH}' = \frac{6\\ \text{m}}{100} = 0{,}06\\ \text{m} = 6\\ \text{cm},
a' = \frac{4\sqrt{3}\\ \text{m}}{100} = 0{,}04\sqrt{3}\\ \text{m}\approx 6{,}928\\ \text{cm}.
O ponto H é o pé da altura, logo H fica no meio de BC. Portanto,
HB = HC = \frac{a'}{2}\approx \frac{6{,}928}{2} = 3{,}464\\ \text{cm}.

Passo 5

Construção com régua e compasso:
  1. Desenhe o segmento \overline{AH} de 6 cm e marque as extremidades A e H.
  2. Em H, trace uma reta perpendicular ao segmento \overline{AH}.
  3. Com o compasso ajustado para 3{,}464 cm, marque ponto B em um dos lados da perpendicular e ponto C no lado oposto, ambos a essa distância de H.
  4. Una A a B e A a C. O triângulo ABC assim obtido é eqüilátero.

Resposta

No desenho em escala 1:100, a altura \overline{AH} mede 6 cm e o lado BC mede aproximadamente 6{,}928 cm, com HB = HC \approx 3{,}464 cm.

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