1. Construa um triângulo retângulo com ângulo \hat{\mathrm{A}}=30^{\circ} e a hipotenusa \overline{A B}=5 \mathrm{~m} na escala de 1:100

Passo 1

O enunciado pede para construir um triângulo retângulo com \hat{A}=30^\circ e hipotenusa \overline{AB}=5 m na escala 1:100.
Conteúdo: trigonometria em triângulo retângulo (caso 30–60–90) e proporcionalidade de escala.
Vamos (a) determinar as medidas reais dos catetos usando seno e cosseno de 30^\circ, (b) converter para escala e (c) descrever o traçado geométrico.

Passo 2

Num triângulo retângulo de ângulos 30^\circ, 60^\circ e 90^\circ com hipotenusa AB=5 m, os catetos são
AC = AB\cos(30^\circ) = 5\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2}\\ \text{m},
BC = AB\sin(30^\circ) = 5\cdot\frac12 = 2{,}5\\ \text{m}.

Passo 3

Converter para escala 1:100 (ou seja, dividir todas as dimensões por 100):
AB_{\text{desenho}} = \frac{5\\ \text{m}}{100} = 0{,}05\\ \text{m} = 5\\ \text{cm},
AC_{\text{desenho}} = \frac{\tfrac{5\sqrt{3}}{2}\\ \text{m}}{100} = \frac{5\sqrt{3}}{2}\,\text{cm} \approx 4{,}33\\ \text{cm},
BC_{\text{desenho}} = \frac{2{,}5\\ \text{m}}{100} = 2{,}5\\ \text{cm}.

Passo 4

Desenho geométrico no papel:
  1. Trace a reta AB com AB=5 cm.
  2. Em A, use o transferidor para marcar um ângulo de 30^\circ em relação a AB; trace um semi‐reta nessa direção.
  3. Sobre essa semi‐reta a partir de A, marque AC=4{,}33 cm; chame esse ponto de C.
  4. Em C, erga uma perpendicular a AC com régua e esquadro; sobre essa perpendicular marque BC=2{,}5 cm, obtendo o ponto B.
  5. Una B a A (já está feito) e a C, completando o triângulo retângulo.

Resposta

Na escala 1:100, as medidas para desenhar são
AB = 5{,}00\\ \text{cm},\quad AC = 4{,}33\\ \text{cm},\quad BC = 2{,}5\\ \text{cm},
com ângulo \hat{A}=30^\circ e ângulo reto em C.

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