Seja r:\left\{\begin{array}{l}x=t \\\ y=3 t+1\end{array}, t \in \mathbb{R}\right..
(a) Encontre as equações paramétricas da reta s que é perpendicular ao vetor \vec{u}=(1,-3) e passa pelo ponto M=(3,2).
(b) Mostre que as retas r e s são concorrentes e encontre o ponto A de interseção entre r e s.
(c) O triângulo A M P possui área igual a 4, sendo A o ponto obtido no item anterior, M o ponto dado no item (a) e P pertencente à reta r. Encontre o vértice P do triângulo.
OBS.: Existem dois pontos P que satisfazem as propriedades do item (c). Encontre os dois !
Passo 1
O enunciado trata de retas no plano dadas por parametrizações e pede três coisas: (i) achar a reta s\) perpendicular ao vetor \(\vec u=(1,-3)\) que passe por \(M=(3,2)\); (ii) mostrar que essa reta \(s\) concorre com a reta
\[r:\begin{cases} x=t,\\\ y=3t+1, \end{cases}\quad t\in\mathbb{R},
e encontrar o ponto de interseção A\]; (iii) encontrar os pontos \(P sobre r tais que a área do triângulo AMP seja 4.
Passo 2
Para achar a reta s perpendicular a \vec u=(1,-3), observamos que seu vetor direção \vec d_s deve satisfazer
\vec d_s\cdot\vec u=0.
Tomando \vec d_s=(a,b), isso dá a\cdot1+b\cdot(-3)=0, ou seja a=3k,\;b=1k. Escolhendo k=1, temos \vec d_s=(3,1). Como s passa por M=(3,2), suas equações paramétricas são
Para ver onde r\) e \(s\) se interceptam, igualamos
\[\begin{cases} t = 3+3k,\\\\ 3t+1 = 2+k. \end{cases}
Da segunda equação k=3t+1-2=3t-1\]. Substituindo na primeira:
\[t = 3+3(3t-1)=3+9t-3=9t \quad\Rightarrow\quad8t=0\quad\Rightarrow\quad t=0.\]
Logo \(k=3\cdot0-1=-1. O ponto de interseção é
A=(x,y)=(t,\,3t+1)\big|_{t=0}=(0,1).
Passo 4
Qualquer ponto P em r é P=(p,\,3p+1). O vetor \overrightarrow{AM} é
\overrightarrow{AM}=(3-0,\;2-1)=(3,1),
e \overrightarrow{AP}=(p-0,\;(3p+1)-1)=(p,3p). A área do triângulo AMP é