Para a construção de diagramas de caixa (boxplots), os valores atípicos são definidos como valores de dados que estão acima de Q_3 por uma quantidade maior do que 1,5 \times DIQ, ou abaixo de Q_{1}, por uma quantidade maior do que 1.5 \times DIQ, onde DIQ =Q_{3}-Q_{1} é a amplitude interquartil. Usando essa definição de outlier, encontre a probabilidade de um valor, selecionado aleatoriamente de uma distribuição normal, seja um outlier.

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de um valor ser considerado outlier num diagrama de caixa quando a amostra vem de uma distribuição normal. Usamos a definição: valores abaixo de
Q_{1} - 1{,}5\times\mathrm{DIQ}
ou acima de
Q_{3} + 1{,}5\times\mathrm{DIQ},
onde \mathrm{DIQ}=Q_{3}-Q_{1}. Como a normal é estável por localização e escala, basta trabalhar com a normal padrão Z\sim N(0,1).

Passo 2

Para Z\sim N(0,1), os quartis são
Q_{1}=z_{0{,}25}\approx -0{,}6745, \qquad Q_{3}=z_{0{,}75}\approx +0{,}6745,
pois \Phi(-0{,}6745)=0{,}25 e \Phi(0{,}6745)=0{,}75, onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão.

Passo 3

Calculamos a amplitude interquartil e os limites de outlier:
\mathrm{DIQ}=Q_{3}-Q_{1} =0{,}6745 - (-0{,}6745) =1{,}3490.
\text{Limite inferior} =Q_{1}-1{,}5\,\mathrm{DIQ} =-0{,}6745 - 1{,}5\cdot1{,}3490 \approx -2{,}6970,
\text{Limite superior} =Q_{3}+1{,}5\,\mathrm{DIQ} =0{,}6745 + 1{,}5\cdot1{,}3490 \approx +2{,}6970.

Passo 4

A probabilidade de Z estar fora desses limites é
P(Z< -2{,}6970)+P(Z>2{,}6970) =2\,P\bigl(Z>2{,}6970\bigr) =2\bigl[1-\Phi(2{,}6970)\bigr].
Consultando tabela ou calculadora, \Phi(2{,}6970)\approx0{,}9965, logo
1-\Phi(2{,}6970)\approx0{,}0035 \quad\Longrightarrow\quad 2\,(0{,}0035)\approx0{,}0069.

Resposta

A probabilidade de um valor ser um outlier é aproximadamente 0{,}0069 (ou 0{,}69\%).

Exercícios relacionados