Uma indústria brasileira de produção de parafusos atua no mercado há mais de 30 anos e é reconhecida pela qualidade de seus produtos, que são fornecidos para grandes montadoras de veículos. A empresa garante em seus catálogos técnicos que o comprimento médio dos parafusos fabricados é de 5 cm , parâmetro essencial para garantir a segurança e a padronização das peças nos processos de montagem. Para assegurar a credibilidade dessa especificação, um engenheiro da equipe de controle de qualidade decidiu realizar uma verificação considerando que o comprimento dos parafusos é normalmente distribuído com desvio-padrão populacional conhecido de 0,1 \mathrm{~cm}. Uma amostra aleatória de 25 parafusos foi coletada na linha de produção e apresentou comprimento médio de 4,98 \mathrm{~cm}.
(a) Formule as hipóteses nula e alternativa para testar se o comprimento médio é igual ou diferente de 5 cm .
(b) Adote um nível de significância de 5 \% e determine se rejeita ou não a hipótese nula.
(c) Interprete o resultado.

Passo 1

O enunciado descreve um teste de hipótese para o comprimento médio \mu dos parafusos, onde sabemos que X é normalmente distribuída com desvio-padrão populacional \sigma=0,1 cm. Foi coletada uma amostra de tamanho n=25 com média amostral \bar{x}=4,98 cm. O objetivo é verificar, ao nível de significância de 5\%, se o comprimento médio difere de 5 cm, usando o teste Z para média com \sigma conhecido.

Passo 2

Formulamos as hipóteses nula e alternativa:
H_0: \mu = 5\text{ cm}
H_1: \mu \neq 5\text{ cm}

Passo 3

Definimos a estatística de teste Z e calculamos seu valor:
Z = \frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{4,98 - 5}{0,1/\sqrt{25}} = -1

Passo 4

Para \alpha=0,05 em teste bilateral, a região crítica é \lvert Z\rvert > 1,96. Como \lvert -1\rvert = 1 < 1,96, não rejeitamos H_0.

Passo 5

Interpretação: ao nível de significância de 5\%, não há evidência suficiente para afirmar que o comprimento médio dos parafusos difere de 5 cm. Os dados são compatíveis com a especificação da empresa.

Resposta

(a) H_0: \mu=5 cm e H_1: \mu\neq5 cm
(b) Não rejeita H_0 ao nível de 5\%.
(c) Não há evidência estatística para concluir que o comprimento médio difere de 5 cm; os resultados são compatíveis com a alegação da empresa.

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