Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas:
Passo 2
Ideia de resolução (explicação didática): perto de
é muito útil aproximar funções suaves por polinómios — são as chamadas séries de Maclaurin (Taylor centrada em zero). A vantagem é que polinômios são fáceis de manipular e permitem ver cancelamentos de termos de baixo grau no numerador. Vou obter a expansão de
até a ordem
e usar isso para simplificar o quociente.
Passo 3
Construindo a série de Maclaurin de
até a ordem
— passo a passo (sem pular etapas):
Definimos
. As derivadas avaliadas em
são:
A fórmula da série de Maclaurin até ordem
é
Substituindo os valores:
Ou seja,
Aqui
significa "termos que, divididos por
, tendem a
" — são termos de ordem superior (como
,
, …).
Passo 4
Agora substituímos essa expansão no numerador:
Fazendo as somas e observando cancelamentos:
Ou seja, todos os termos de ordem
e
se cancelaram e o primeiro termo não-nulo é de ordem
.
Passo 5
Dividindo pelo denominador
:
Como
representa termos que tendem a
quando
, concluímos que o limite é
Passo 6
Breve comentário didático e motivador: outra abordagem seria aplicar a regra de l’Hôpital repetidamente (derivar numerador e denominador até eliminar a indeterminação), e daria o mesmo resultado, mas é mais trabalhoso porque exige chegar à quarta derivada. A expansão de Maclaurin é mais rápida e clara para este tipo de limite. Você conseguiu — é só prática para reconhecer quando usar série!