\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-1+\frac{1}{2} x^{2}}{x^{4}}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\cos x - 1 + \tfrac{1}{2}x^{2}}{x^{4}}.
Informações dadas:
\text{numerador} = \cos x - 1 + \tfrac{1}{2}x^{2}, \qquad \text{denominador} = x^{4}, \qquad \text{e queremos o valor quando } x\to 0.

Passo 2

Ideia de resolução (explicação didática): perto de x=0 é muito útil aproximar funções suaves por polinómios — são as chamadas séries de Maclaurin (Taylor centrada em zero). A vantagem é que polinômios são fáceis de manipular e permitem ver cancelamentos de termos de baixo grau no numerador. Vou obter a expansão de \cos x até a ordem x^{4} e usar isso para simplificar o quociente.

Passo 3

Construindo a série de Maclaurin de \cos x até a ordem x^{4} — passo a passo (sem pular etapas):
Definimos f(x)=\cos x. As derivadas avaliadas em 0 são:
f(0)=\cos 0 = 1,
f'(x)=-\sin x\quad\Rightarrow\quad f'(0)=-\sin 0 = 0,
f''(x)=-\cos x\quad\Rightarrow\quad f''(0)=-\cos 0 = -1,
f^{(3)}(x)=\sin x\quad\Rightarrow\quad f^{(3)}(0)=\sin 0 = 0,
f^{(4)}(x)=\cos x\quad\Rightarrow\quad f^{(4)}(0)=\cos 0 = 1.
A fórmula da série de Maclaurin até ordem 4 é
f(x)\approx f(0)+f'(0)\frac{x}{1!}+f''(0)\frac{x^{2}}{2!}+f^{(3)}(0)\frac{x^{3}}{3!}+f^{(4)}(0)\frac{x^{4}}{4!}.
Substituindo os valores:
\cos x = 1 + 0\cdot x + \frac{-1}{2!}x^{2} + 0\cdot x^{3} + \frac{1}{4!}x^{4} + \text{termos de ordem superior}.
Ou seja,
\cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24} + o(x^{4})\quad\text{quando }x\to 0.
Aqui o(x^{4}) significa "termos que, divididos por x^{4}, tendem a 0" — são termos de ordem superior (como x^{6}, x^{8}, …).

Passo 4

Agora substituímos essa expansão no numerador:
\cos x - 1 + \tfrac{1}{2}x^{2} = \Big(1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24} + o(x^{4})\Big) - 1 + \frac{x^{2}}{2}.
Fazendo as somas e observando cancelamentos:
1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24} + o(x^{4}) - 1 + \frac{x^{2}}{2} = \frac{x^{4}}{24} + o(x^{4}).
Ou seja, todos os termos de ordem x^{0} e x^{2} se cancelaram e o primeiro termo não-nulo é de ordem x^{4}.

Passo 5

Dividindo pelo denominador x^{4}:
\frac{\cos x - 1 + \tfrac{1}{2}x^{2}}{x^{4}} = \frac{\frac{x^{4}}{24} + o(x^{4})}{x^{4}} = \frac{1}{24} + o(1).
Como o(1) representa termos que tendem a 0 quando x\to 0, concluímos que o limite é
\lim_{x\to 0}\frac{\cos x - 1 + \tfrac{1}{2}x^{2}}{x^{4}} = \frac{1}{24}.

Passo 6

Breve comentário didático e motivador: outra abordagem seria aplicar a regra de l’Hôpital repetidamente (derivar numerador e denominador até eliminar a indeterminação), e daria o mesmo resultado, mas é mais trabalhoso porque exige chegar à quarta derivada. A expansão de Maclaurin é mais rápida e clara para este tipo de limite. Você conseguiu — é só prática para reconhecer quando usar série!

Resposta

\displaystyle \frac{1}{24}

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