Construir as curvas de nível das funções dadas.
z=2 xx^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para construir as curvas de nível da função
z = 2xx^2 + y^2
Aqui o conteúdo é “curvas de nível” de uma função de duas variáveis: para cada constante c definimos a curva de nível
(x,y)mid z(x,y)=c,
isto é, o lugar geométrico dos pontos que fazem 2xx^2 + y^2=c.

Passo 2

Fixando z=c, obtemos
c = 2xx^2 + y^2 Longrightarrow c,(x^2 + y^2) = 2x
Essa é a equação implícita em x,y que caracteriza cada curva de nível de parâmetro c.

Passo 3

Supondo cneq 0, divide-se por c:
x^2 + y^2 = 2xc Longrightarrow x^2 - 2c,x + y^2 = 0
Agora completamos o quadrado em x:
l(x - tfrac1cr)^2 - 1c^2 + y^2 = 0 Longrightarrow l(x - tfrac1cr)^2 + y^2 = 1c^2

Passo 4

O resultado mostra que, para cada cneq 0, a curva de nível é o círculo de centro
l(tfrac1c,0r) e raio l|tfrac1cr|.

Passo 5

Falta o caso c=0. Se 0 = tfrac2xx^2+y^2, então 2x=0 e x=0, com x^2+y^2neq0 (função não existe em (0,0)).
Logo, para c=0, a curva de nível é a reta vertical
x=0, yneq 0

Resposta

Para cneq 0 as curvas de nível são círculos
l(x - tfrac1cr)^2 + y^2 = 1c^2,
centrados em l(tfrac1c,0r) com raio l|tfrac1cr|.
Para c=0, a curva de nível é a reta x=0 (exceto a origem).

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