Suponha que, para todo x,|f(x)| <= 3 x^4+x^2. Calcule lim x 0 f(x)x. Para isso, utilize a definição de módulo e o teorema do confronto. Lembre que ambos foram ensinados em sala de aula.

Passo 1

O enunciado diz que existe uma função f tal que, para todo x,
|f(x)| <= 3x^4 + x^2
Queremos calcular
limxto 0 f(x)x,
utilizando a definição de módulo (isto é, usar que |a|<= b implica -b<= a<= b) e o teorema do confronto (squeeze theorem).

Passo 2

Primeiro, note que para xneq 0 podemos escrever
|f(x)x| = |f(x)||x| <= 3x^4 + x^2|x| = 3,|x|^3 + |x|
Aqui usamos a desigualdade |f(x)|<= 3x^4+x^2 e a propriedade l|tfracf(x)xr|=tfrac|f(x)||x|

Passo 3

Defina
h(x) = 3,|x|^3 + |x|
Como limxto 0h(x)=0, temos para xneq0
-,h(x);<=;f(x)x;<=;h(x)
Pelo teorema do confronto, como limxto0-h(x)=0 e limxto0h(x)=0, segue que
limxto0f(x)x=0

Resposta

0

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