- Desenhe a superfície de nível correspondente a
.
a)
b)
c)
d)
- Duas superfícies de nível de uma função
podem interceptar-se? Justifique.
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pede para desenhar as superfícies de nível de uma função de três variáveis no caso em que o nível é c=1, e depois discutir se duas superfícies de nível diferentes podem interceptar-se. O conteúdo envolve o conceito de superfície de nível (level set) de uma função f(x,y,z) e a identificação do tipo de superfície que cada equação f(x,y,z)=1 representa.
Passo 2
Uma superfície de nível de uma função f(x,y,z) para o valor c é o conjunto de pontos (x,y,z) tais que
Geometricamente, cada equação f(x,y,z)=1 vai gerar um tipo de superfície no espaço.
Passo 3
Para (a), temos f(x,y,z)=x. A superfície de nível c=1 é dada por
Isso é um plano paralelo aos planos yz, perpendicular ao eixo x, deslocado até x=1.
Passo 4
Para (b), f(x,y,z)=z. O nível c=1 satisfaz
Que é um plano paralelo ao plano xy, perpendicular ao eixo z, deslocado até z=1.
Passo 5
Para (c), f(x,y,z)=x2+y2. A superfície de nível c=1 satisfaz
Aqui entra o conceito de cilindro: essa equação independe de z, logo é um cilindro circular reto de raio 1, com eixo coincidindo com o eixo z.
Passo 6
Para (d), f(x,y,z)=x2+4y2+z^2. A superfície de nível c=1 satisfaz
Essa é uma elipsoide centrada na origem, com semi-eixo em x igual a 1, em y igual a 1/2 (pois 4y^2=1 implica |y|=1/2) e em z igual a 1.
Passo 7
Para a questão 3, lembramos que duas superfícies de nível são definidas por f(x,y,z)=c_1 e f(x,y,z)=c_2. Se existisse um ponto comum P que satisfizesse as duas equações, teríamos f§=c_1 e f§=c_2 ao mesmo tempo. Isso só é possível se c_1=c_2. Portanto, se c_1\neq c_2, as superfícies não podem interceptar-se (são conjuntos disjuntos); se c_1=c_2, elas coincidem exatamente e não são superfícies distintas.
Resposta
a) Plano x=1. b) Plano z=1. c) Cilindro circular x2+y2=1 (eixo z). d) Elipsoide x2+4y2+z^2=1.\n\n3) Duas superfícies de nível f(x,y,z)=c_1 e f(x,y,z)=c_2 só podem intersectar-se se c_1=c_2; para c_1\neq c_2 elas não têm pontos em comum.