1. Desenhe a superfície de nível correspondente a c=1.
    a) f(x, y, z)=x
    b) f(x, y, z)=z
    c) f(x, y, z)=x^2+y^2
    d) f(x, y, z)=x^2+4 y^2+z^2
  2. Duas superfícies de nível de uma função f podem interceptar-se? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar as superfícies de nível de uma função de três variáveis no caso em que o nível é c=1, e depois discutir se duas superfícies de nível diferentes podem interceptar-se. O conteúdo envolve o conceito de superfície de nível (level set) de uma função f(x,y,z) e a identificação do tipo de superfície que cada equação f(x,y,z)=1 representa.

Passo 2

Uma superfície de nível de uma função f(x,y,z) para o valor c é o conjunto de pontos (x,y,z) tais que
f(x,y,z)=c
Geometricamente, cada equação f(x,y,z)=1 vai gerar um tipo de superfície no espaço.

Passo 3

Para (a), temos f(x,y,z)=x. A superfície de nível c=1 é dada por
x=1
Isso é um plano paralelo aos planos yz, perpendicular ao eixo x, deslocado até x=1.

Passo 4

Para (b), f(x,y,z)=z. O nível c=1 satisfaz
z=1
Que é um plano paralelo ao plano xy, perpendicular ao eixo z, deslocado até z=1.

Passo 5

Para (c), f(x,y,z)=x2+y2. A superfície de nível c=1 satisfaz
x^2+y^2=1
Aqui entra o conceito de cilindro: essa equação independe de z, logo é um cilindro circular reto de raio 1, com eixo coincidindo com o eixo z.

Passo 6

Para (d), f(x,y,z)=x2+4y2+z^2. A superfície de nível c=1 satisfaz
x^2+4y^2+z^2=1
Essa é uma elipsoide centrada na origem, com semi-eixo em x igual a 1, em y igual a 1/2 (pois 4y^2=1 implica |y|=1/2) e em z igual a 1.

Passo 7

Para a questão 3, lembramos que duas superfícies de nível são definidas por f(x,y,z)=c_1 e f(x,y,z)=c_2. Se existisse um ponto comum P que satisfizesse as duas equações, teríamos f§=c_1 e f§=c_2 ao mesmo tempo. Isso só é possível se c_1=c_2. Portanto, se c_1\neq c_2, as superfícies não podem interceptar-se (são conjuntos disjuntos); se c_1=c_2, elas coincidem exatamente e não são superfícies distintas.

Resposta

a) Plano x=1. b) Plano z=1. c) Cilindro circular x2+y2=1 (eixo z). d) Elipsoide x2+4y2+z^2=1.\n\n3) Duas superfícies de nível f(x,y,z)=c_1 e f(x,y,z)=c_2 só podem intersectar-se se c_1=c_2; para c_1\neq c_2 elas não têm pontos em comum.

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