Construir um Dodecágono regular com 3 cm de lado e trace dois polígonos estrelados: um de linhas curvas e outro de linhas retas,

Passo 1

O enunciado pede a construção de um dodecágono regular de lado 3 cm usando régua e compasso, e em seguida a tra\c{c}agem de dois polígonos estrelados inscritos: um cujos “lados” sejam arcos de circunferência (linhas curvas) e outro cujos lados sejam segmentos retos. Para isso vamos usar:
bul<=t A relação entre o lado s e o raio R do círculo circunscrito a um polígono regular de n lados,
bul<=t A construção de um círculo e divisão de 360^circ em ângulos de 30^circ,
bul<=t Técnicas de ligação de vértices para formar o polígono estrelado de linhas retas,
bul<=t Técnicas de uso de compasso para traçar arcos entre vértices para o polígono estrelado de linhas curvas.

Passo 2

Calcular o raio R da circunferência em que o dodecágono está inscrito. Para um polígono regular de n=12 lados de comprimento s=3:
R = s2,sinl(tfracpi nr) = 32,sin!l(tfracpi12r)
Como
sin!l(tfracpi12r)=sinl(15^circr)=raiz6-raiz24,
segue
R = 32;raiz6-raiz24 = 3cdot42,(raiz6-raiz2) = 6raiz6-raiz2 approx 5,79 cm
Marque o ponto O (centro) e trace uma circunferência de raio R.

Passo 3

Dividir a circunferência em 12 arcos iguais de 30^circ. Para isso, proceda assim:
1. Trace um diâmetro horizontal AB.
2. No ponto B, erga a perpendicular a AB para obter um ângulo reto.
3. Com compasso, trace um triângulo equilátero em torno de O para obter um setor de 60^circ, depois use a bisseção de ângulo para dividir 60^circ em dois de 30^circ.
4. Replique esse ângulo de 30^circ sucessivamente em torno de O, marcando os vértices V1,V2,dots,V12.

Passo 4

Unir com segmentos retos cada par de vértices consecutivos ViVi+1 (e V12V1) para obter o dodecágono regular de lado ,3 cm.

Passo 5

Traçar o polígono estrelado de linhas retas. A escolha aqui será o polígono estrelado 12/5, ou seja, ligar cada vértice Vi ao vértice que está 5 posições adiante no sentido horário:
V1to V6to V11to V4to V9to V2to V7to V12to V5to V10to V3to V8to V1
Isso gera um único circuito de 12 arestas retas formando uma estrela de 12 pontas.

Passo 6

Traçar o polígono estrelado de linhas curvas. Ajuste o compasso com raio igual ao comprimento do lado do dodecágono ( 3 cm). Para cada vértice Vi+1 faça:
1. Coloque a ponta seca do compasso em Vi+1.
2. Trace um arco que ligue os vértices Vi e Vi+2.
3. Avance i de 1 em 1 ao longo dos 12 vértices, repetindo o procedimento até completar os 12 arcos.
O resultado é um “roseta” estrelada composta por 12 arcos de circunferência, cruzando-se no interior do dodecágono.

Resposta

Seguindo os passos acima, obtemos:
– Um dodecágono regular de lado 3 cm inscrito em um círculo de raio Rapprox5,79 cm.
– Um polígono estrelado de linhas retas, correspondente ao diagrama 12/5.
– Um polígono estrelado de linhas curvas, formado por 12 arcos de compasso entre vértices alternados do dodecágono.

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