Seja
satisfazendo
. Prove que
a) Se existir
tal que
, então
.
b) Se
não é identicamente nula, então
para todo
.
a) Se existir
b) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma função
que satisfaz a condição
para todo
. O nosso objetivo é provar duas coisas:
a) Se existe um número onde
, então
para todo
.
b) Se a função não é sempre zero, então
para todo
.
a) Se existe um número
b) Se a função
Pra isso, vamos precisar entender um pouco sobre propriedades das funções que multiplicam quando somamos os argumentos, e usar algumas noções básicas de álgebra.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a). Suponha que existe algum
tal que
. A gente vai mostrar que, de fato,
pra todo
.
Primeiro, observe que se a gente colocar
na equação original, temos:
Como
, isso simplifica para:
Agora, se
não for zero, a gente pode dividir ambos os lados por
, obtendo
. Mas vamos considerar que existe
onde
. Vamos usar isso.
Colocando
e
na equação original:
Sabemos que
, então:
Isso significa que para qualquer
,
. Mas como
é qualquer número real, então
também pode representar qualquer número real. Logo,
para todo
.
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b). Aqui, a gente supõe que
não é sempre zero, ou seja, existe pelo menos algum
onde
. Queremos provar que, nesse caso,
para todo
.
Primeiro, note que
. Isso implica que
é 0 ou 1. Mas se
, então pela parte (a),
seria sempre zero, o que não é o caso. Portanto,
.
Agora, vamos ver o comportamento de
. Usando a equação original com
:
Isso dá:
Como
, temos:
Isso mostra que
nunca é zero (o que já sabemos) e que
é o inverso de
.
Agora, suponha que exista algum
onde
. Mas então,
também seria negativo, porque o inverso de um número negativo é negativo. Isso levaria a contradições na multiplicação de funções, já que
sempre seria positivo se
e
tivessem sinais consistentes.
A única maneira de evitar essas contradições é se
para todo
.
Resposta
Portanto:
a) Se existe tal que
, então
para todo
.
b) Se não é identicamente nula, então
para todo
.
a) Se existe
b) Se