Seja f: R R satisfazendo f(x+y)=f(x) cdot f(y) forall x, y in R. Prove que
a) Se existir x0 in R tal que f(x0)=0, então f(x)=0 forall x in R.
b) Se f não é identicamente nula, então f(x)>0 para todo x in R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma função f: R R que satisfaz a condição f(x+y) = f(x) cdot f(y) para todo x, y in R . O nosso objetivo é provar duas coisas:
a) Se existe um número x0 onde f(x0) = 0 , então f(x) = 0 para todo x .
b) Se a função f não é sempre zero, então f(x) > 0 para todo x .
Pra isso, vamos precisar entender um pouco sobre propriedades das funções que multiplicam quando somamos os argumentos, e usar algumas noções básicas de álgebra.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a). Suponha que existe algum x0 tal que f(x0) = 0 . A gente vai mostrar que, de fato, f(x) = 0 pra todo x .
Primeiro, observe que se a gente colocar y = 0 na equação original, temos:
f(x + 0) = f(x) cdot f(0)
Como x + 0 = x , isso simplifica para:
f(x) = f(x) cdot f(0)
Agora, se f(x) não for zero, a gente pode dividir ambos os lados por f(x) , obtendo 1 = f(0) . Mas vamos considerar que existe x0 onde f(x0) = 0 . Vamos usar isso.
Colocando x = x0 e y = x na equação original:
f(x0 + x) = f(x0) cdot f(x)
Sabemos que f(x0) = 0 , então:
f(x0 + x) = 0 cdot f(x) = 0
Isso significa que para qualquer x , f(x0 + x) = 0 . Mas como x é qualquer número real, então x0 + x também pode representar qualquer número real. Logo, f(x) = 0 para todo x .

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b). Aqui, a gente supõe que f não é sempre zero, ou seja, existe pelo menos algum x onde f(x) neq 0 . Queremos provar que, nesse caso, f(x) > 0 para todo x .
Primeiro, note que f(0) = f(0 + 0) = f(0) cdot f(0) . Isso implica que f(0) é 0 ou 1. Mas se f(0) = 0 , então pela parte (a), f seria sempre zero, o que não é o caso. Portanto, f(0) = 1 .
Agora, vamos ver o comportamento de f(-x) . Usando a equação original com y = -x :
f(x + (-x)) = f(x) cdot f(-x)
Isso dá:
f(0) = f(x) cdot f(-x)
Como f(0) = 1 , temos:
f(-x) = 1f(x)
Isso mostra que f(x) nunca é zero (o que já sabemos) e que f(-x) é o inverso de f(x) .
Agora, suponha que exista algum x onde f(x) < 0 . Mas então, f(-x) = 1f(x) também seria negativo, porque o inverso de um número negativo é negativo. Isso levaria a contradições na multiplicação de funções, já que f(x + y) = f(x) cdot f(y) sempre seria positivo se f(x) e f(y) tivessem sinais consistentes.
A única maneira de evitar essas contradições é se f(x) > 0 para todo x .

Resposta

Portanto:
a) Se existe x0 in R tal que f(x0) = 0 , então f(x) = 0 para todo x in R .
b) Se f não é identicamente nula, então f(x) > 0 para todo x in R .

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