Quantos polígonos estrelados de linha curvas podemos traçar a partir da divisão da circunferência em 9 partes?

Passo 1

O enunciado pede para dividir uma circunferência em 9 pontos igualmente espaçados e traçar polígonos que visitem todos esses pontos pulando sempre o mesmo número k de vértices, retornando ao ponto inicial sem quebrar o traço. Esses são os chamados polígonos estrelados do tipo 9/k. Para fechar num só ciclo precisamos de gcd(9,k)=1, e para obtermos formas estreladas (e não o polígono regular) é necessário 2<= k<=lfloor9/2rfloor=4.

Passo 2

Listamos os valores possíveis de k em 2,3,4 e verificamos a condição de primalidade relativa a 9:
  • Para k=2: gcd(9,2)=1, vale.
  • Para k=3: gcd(9,3)=3neq1, não gera um único ciclo.
  • Para k=4: gcd(9,4)=1, vale.

Passo 3

Restam apenas k=2 e k=4 que geram, respectivamente, os polígonos estrelados 9/2 e 9/4.

Resposta

Podemos traçar 2 polígonos estrelados de linhas curvas.

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