Construir o gráfico, determinar o domínio e o conjunto imagem das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado define a função por partes
e pede: (i) o gráfico de
, (ii) o domínio de
e (iii) o conjunto imagem de
. Vamos usar conceitos de funções definidas por trechos, análise de intervalos e determinação de extremos.
Passo 2
Para achar o domínio, identificamos todos os
para os quais
está explicitamente definida. Há a parte
e a parte
. Em conjunto isso dá
Passo 3
Para desenhar o gráfico, analisamos cada ramo:
-
Em
, é uma reta de coeficiente angular . Nos pontos chave: Comoe estão incluídos, marcamos pontos fechados em e e ligamos por segmento. -
Em
, é a reta de coeficiente . Nos extremos: Mas comoe não estão no intervalo aberto, usamos círculos abertos em e . Ligamos essas posições por segmento.
O resultado é um “V” invertido ligando
a
(fechado nos dois pontos) e um “V” normal de
a
(aberto nas extremidades).
Passo 4
Para o conjunto imagem, vemos os valores que
atinge:
- No ramo
, vai de (em ) até (em ), gerando . - No ramo
, varia em .
Como
e
já estão em
, a união é
Resposta
Domínio:
Imagem:
Gráfico: segmento de reta de a
(incluindo as extremidades) e segmento de reta de
a
(com círculos abertos em
e
).
Imagem:
Gráfico: segmento de reta de